AHP层次分析法示例说明
AHP（层次分析法）示例说明TheA
algticHierarachyProcessAHP
一AHP预备知识
为了更好地理解AHP，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从《线性代数》中找到。
11特征根与特征向量
设A
aij
m

为


阶方阵，若存在常数
和非零

维向量
g

g1
g2
g


，使得
Agg
1
则称，是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A关于特征根的特征向量。
12特征根的求法
由1得Agg0

AEg0，这是一个


元一次线性齐次方程组，该方程组如果
有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即
AE0
2
称2式为矩阵A的特征方程，它是一个一元
次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有
个根。
13重量模型
设u1u2u
为
个物体，重量分别是g1g2g
。但是，我们并不知道物体的重量，只
知两两之间重量比的比值：
aijgigj
设准则C为比较重量，问题是：
已知aij1ij
，在准则C下对元素u1u2u
排序，也就是按其重量大小排序已知。
g1
g1
g2
A
aij

m


g1
g

g1
g1g1
g2
g

g2g2

g2
g


g
g2

g
g

对于以下三个特性：（1）aij0
（2）aij

1aji
（3）aijajkaik
aij显然满足（1）与（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难），
满足（1）、（2）的矩阵A为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的矩阵A称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A，在准则C下对
个物体排序。即按重量大小排序。
fAHP层次分析法示例说明
如果，aij

gigj
是，gi，gj是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即A是一致性判断矩阵。
令
gg1g2g
T
则带入计算，Ag
g。显见
是方阵A的特征根，g是A的与
对应的特征向量；事实
上此时不难验证：
是方阵Aaij的最大特征根，其余
1个特征根全为零，而g是A的与最大特征
根
对应的特征向量。（证明见附录）g的
个分量是物体的相对重量，因此，可按此对u1u2u
排序。
如果对矩阵A有一个小的扰动，即aij不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一致性条件，
此然时不会A是的最
个大物特体征的根真m实ax重不量再g是
；g因1扰g2动很小g
，T自，然但是m，ax离变动
不也远不，会这太时大。m我ax对们应设的想特：如征果向扰量动虽
不大，则max离
就不远，此时max对应的特征向量g与g差不多，如果g不改变g的各分量的大小次序，则g同样给出
个物体u1u2u
按重量大小的真实排序。
这样，对r