含参数的一元二次不等式的解法
含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按x2项的系数a的符号分类，即a0a0a0
例1解不等式：ax2a2x10
分析：本题二次项系数含有参数，a224aa240，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵a224aa240
解得方程
ax2
a

2x
1
0
两根
x1


a

22a
a2

4

x2

a
22a
a2

4
∴当a

0时解集为x

x


a

2
2a
a2

4
或x


a

2
2a
a2

4
当a

0时，不等式为
2x
1
0
解集为x

x

1
2

当a
0时
解集为

x


a22a
a2
4

x

a22a
a2
4
例2解不等式ax25ax6a0a0
分析因为a0，0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解ax25x6ax2x30
当a0时，解集为xx2或x3；当a0时，解集为x2x3
变式：解关于x的不等式
1、x2ax20；
2、1－ax21
1当a0时x2x2a
2当a0时xx2
3当0a1时xx2或x2a
4当a1时xx2
5当a1时xx2或x2a
【解】由1－ax21得a2x2－2ax＋11即axax－201当a＝0时，不等式转化为00，故原不
等式无解．
2当a0时，不等式转化为xax－20，
即xx－2a0
∵
2a
0，
∴
不
等
式的
解集
为
x2a
x0．
1
f3当a0时，不等式转化为xax－20，又2a0，
∴不等式的解集为x0x2a．综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；
当a0时，不等式解集为x2ax0；当a0时，不等式解集为x0x2a．
二、按判别式的符号分类，即000；
3、ax2－a＋1x＋10a∈R
1当a0时，xx1或x1a
2当a0时，xx13当0a1时，x1x1
a4当a1时，5当a1时，x1x1
a
例3解不等式x2ax40
分析本题中由于x2的系数大于0故只需考虑与根的情况。
解：∵a216
∴当a44即0时，解集为R；
当a

4即Δ＝0
时，解集为
x
xR且x

a2
；
当a4或a4即0此时两根分别为x1a
a22
16
，
x2


a

a22
16
，显然
x1

x2

∴不等式的解集为xxa
a216或x〈a2
a216
2

例4解不等式m21x24x10mR解因m210424m2143m2
所以当m
3
，即


0时，解集为
x

x

1
2

；
当
3m
3，即

0时，解集为x
x

23m2m21
或x〈23m2m21

；

当m3或m3，即0时，解集为R。
2
f变式：解关于x的不等式：ax2x10
1当a0时，xx114a或x114a
2a
2a
2当a0时，xx1
3当0a1时，x114ax114a
4
2a
2a
4当a1时，4
三、按方程ax2bxc0的根x1x2的大小来分类，即x1x2r