为________．解析观察所给等式左右两边的构成易得第
个等式为13＋23＋＋
3＝
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et
22
（
＋1）2
（
＋1）＝42

2（
＋1）2答案1＋2＋＋
＝4
333
7．2014南昌模拟观察下列等式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，53＝21＋23＋25＋27＋29，，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．解析依题意，注意到从23到m3m≥2，m∈N的分拆中共含有2＋3＋＋m＝（m－1）（m＋2）（m－1）（m＋2）个正整数，且最大的正整数为2×22
＋1＝m－1m＋2＋1，且109＝10－1×10＋2＋1，因此所求的正整数m＝10答案10x2y28．命题p：已知椭圆a2＋b2＝1a＞b＞0，F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OMx2y2的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线a2－b2＝1a＞0，b＞0，F1，F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．解析对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q由对称性知，M为F2Q1的中点，且PF2＝PQ，从而OM∥F1Q且OM＝2F1Q而F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，所以OM＝a对于双曲线，过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OM＝a答案内角平分线三、解答题9．给出下面的数表序列：表11表214314表33812其中表
＝1，2，3，有
行，第1行的
个数是1，3，5，，2
－1，5
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从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表
≥3不要求证明．解表4为14123857122032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表
≥3，即表
≥3各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为
，公比为2的等比数列．10．fx＝1，先分别求f0＋f1，f－1＋f2，f－2＋f3，然后归纳猜3＋3
x
想一般性结论，并给出证明．解f0＋f1＝11＋13＋33＋3
0
＝
11313＋＝＋＝3，1＋33（1＋3）3（1＋3）3（1＋3）
33同理可得：f－1＋f2＝3，f－2＋f3＝33由此猜想fx＋f1－x＝3证明：fx＋f1－x＝11＋1－x3＋33＋3
x
13x13x＝x＋＝＋3＋33＋33x3x＋33（3＋3x）3＋3x3＝＝3x3（3＋3）
能力提升题组
建议用时：25r