2Lβ
的过渡矩阵为P，V
中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，则
BP1AP定理表明：B与A相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P就是相似变换矩阵定义2线性变换T的象空间TV
的维数，称为线性变换T的秩结论若A是T的矩阵，则T的秩就是rA
若T的秩为r，则T的核Sr的维数为
r
例题选讲
线性变换的标准矩阵例1E01设E20
性变换
1010E2中的列为e1e2如果T是从R2到R3的线011
23Te16Te2078
求任意x∈R的像的公式
2
解
x10x1x1x2x1e1x2e201x2
23
因为T是从R到R的线性变换所以
232x13x2Txx1Te1x2Te2x16x206x1787x8x21
f线性变换与其矩阵的关系例2E02在Px3中取基p1x3p2x2p3xp41求微分运算D的矩阵
Dp13x20p13p20p30p4Dp22x0p10p22p30p4Dp310p10p20p31p4Dp00p0p0p0p12344
解
所以D在这组基下的矩阵为
03A00000000200010
例3E03实数域R上所有一元多项式的集合，记作PxPx中次数小于
的所有一元多项式包括零多项式组成的集合记作Px
它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成R上的一个线性空间。在线性空间Px
中，定义变换dσfxfxfx∈Px
dx则由导数性质可以证明：σ是Px
上的一个线性变换这个变换也称为微分变换现取
Px
的基为1，xx2Lx
1，则有
σ10，
σ

x


1
，σx22x，…，σx
1
1x
2
LLLLL
因此，σ在基1xx2Lx
1下的矩阵为010002ALLL000000
00L
10
例4E04在R3中，T表示将向量投影到xOy平面的线性变换，即
Txiyjzkxiyj
→→→→→→→→
1取基为ijk，求T的矩阵；2取基为αiβjγijk求T的矩阵rrTii100rrrrrrrr解1Tjj即Tijkijk010000rrTk0
rTαiαr即Tαr