第五节线性变换的矩阵表示
分布图示
★线性变换的标准矩阵★线性变换在给定基下的矩阵★线性变换与其矩阵的关系★例2★例3★线性变换在不同基下的矩阵★内容小结★课堂练习★习题65★例1
★例4★例5
内容要点
一、线性变换的标准矩阵根据上节例5，若定义R中的变换yTx为
TxAxx∈R


那么T为一个线性变换，设e1e2Le
为单位坐标向量则有
αiAeiTeii12L
因此如果一个线性变换T有关系式TxAx那么矩阵A应以Tei为列向量反之如果一个结性变换T使Teiαii12L
则有TxTe1e2Le
Tx1e1x2e2Lx
e
x1Te1x2Te2Lx
Te
Te1Te2LTe
xα1α2Lα
xAx
综上所述知R中任何线性变换T都可以用关系式
TxAxx∈R


表示其中ATe1Te2LTe
称为线性变换T的标准矩阵一个线性变换T无论是用图示还是文字描述我们都希望得到Tx的“计算式”。下面的讨论表明从R
到R
的每个线性变换实际上都是一个矩阵变换xaAx并且T的主要性质与矩阵A的性质密切相关求A的关键要注意T完全由它在单位矩阵E
列上的作用所确定的
二、线性变换在给定基下的矩阵在定义1设T是线性空间V
中的线性变换，V
中取定一个基α1α2Lα
如果这个基在变换T下的象为Tα1a11α1a21α2La
1α
Tα2a12α1a22α2La
2α
…………………………Tα
a1
α1a2
α2La
α
记Tα1α2Lα
Tα1Tα2LTα
则上式可表示为
Tα1α2Lα
α1α2Lα
A，
fa11a21其中ALa
1
a12La1
a22La2
那末，则称A为线性变换T在基α1α2Lα
下的矩阵LLLa
2La

显然，矩阵A由基的象Tα1Tα2LTα
唯一确定三、线性变换与其矩阵的关系设A是线性变换T在基α1α2，α
下的矩阵，即基α1α2Lα
在变换T下的象为L
Tα1α2Lα
α1α2Lα
A
结论在V
中取定一个基后，由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A，由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的
四、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？定理1设线性空间V
中取定两个基α1α2Lα
；β1β2Lβ
，由基α1α2Lα
到基
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