高中数学联赛
真题分类汇编
于洪伟
高中数学联赛真题汇编复数拓展
（1978二试2（1））分解因式：x12x9x6x31．2π2π解：⑴令εcos＋isi
．1515
14
∴x－1xxxx1x－1∏x－εk．而x3－1x－1x－ε5x－ε10．
31296315k014
故x12x9x6x31
k0k5，10
∏
x－εk．
－2（1984T1）集合SZargZα，α为常数在复平面上的图形是

A．射线argZ2αB．射线argZ－2αC．射线argZαD．上述答案都不对解：由于argZ∈02π，故不存在答案B．arg－Z2π－α，故选D．
－1985T5设Z、W、λ为复数，λ≠1，关于Z的方程Z－λZW有下面四个结论：－－λWWⅠ．Z是这个方程的解；Ⅱ．这个方程只有一解；1－λ2Ⅲ．这个方程有两解；Ⅳ．这个方程有无穷多解．则A．只有Ⅰ、Ⅱ正确B．只有Ⅰ、Ⅲ正确C．只有Ⅰ、Ⅳ正确D．以上A、B、C都不正确－－解：原式两端取共轭：Z－λZW，乘以λ再取共轭：λZ－2ZλW，相加，由－－λWW≠1，得方程有唯一解Z．选A．1－λ2
（1986T2）设x为复数，Mzz－12z－12，那么

复数拓展
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于洪伟
A．M纯虚数
B．M实数
C．实数M复数
D．M复数
解：即z－12－z－1－z－10，z－1z－－z0，z1或z－z，总之，z为实数．选B
（1988T12）复平面上动点Z1的轨迹方程为Z1－Z0Z1，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．1111111解：Z1－，故得－－Z0，即ZZ011．Z．即以－为圆心为半ZZZZ0Z0Z0Z0径的圆．
t1t（1989T5）若Mzzi，t∈R，t≠－1，t≠0，1ttNzz2cosarcsi
ticosarccost，t∈R，t≤1．则M∩N中元素的个数为A．0B．1C．2D．4解：M的图象为双曲线xy1x≠0，x≠1N的图象为x2y22x≥0，二者无公共点．选A．
（1989T1）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数zcosB－si
Aisi
B－cosA在复平面内所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：0°A、B90°AB180°．故90°A90°－B0°，si
AcosB，cosAsi
B．故cosB－si
A0，si
B－cosA0．点Z位于第二象限．选B
（1990T5）设非零复数x、y满足x2xyy20，则代数式A．2
－1989
x1990y1990xyxy的值是

B．－1
C．1
D．以上答案都不对
x解：ω或ω2，其中ωcos120°isi
120°．1ωω20．且ω31．yxω199011990xω219901若ω，则得－1．若ω2，则得21990－1．选B．2y1ωω1y1ωω1
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