数yfxa的图像与函数yfbx的图像关于直线xba对称2
例2．（从对称性思考）已知定义在R上的函数fx满足fxfx，f3xfx，则f2019（
A．3
B．0
【答案】B
C．1
D．3
2
f【易错点晴】函数fx满足fxfx则函数关于（0，0）中心对称，f3xfx则函数关于x2轴对称，3
常用结论：若在R上的函数fx满足faxfaxfbxfbx，则函数fx以4ab为周期
本题中，利用此结论可得周期为4026，进而f2019f3，f3需要回到本题利用题干条件赋值即可3
例3
已知定义在R上的函数
f

x

的图象关于点


34

0

对称
且满足
f
xf

x

32

又
f11f02则f1f2f3f2008（）
A．669
B．670
C．2008
D．1
【答案】D
试题分析：由
f
xf

x

32

得
f
x
f
x3，又
f
11
f
02，

f1
f
13

f2，
f0
f
3，
f

x

的图象关于点


34

0

对称，所以
f1f1f13f1f1f2f30，由fxfx3可得
2
22
f1f2f3f2008669f1f2f3f1f1f11，故选D
考点：函数的周期性；函数的对称性．
例4已知函数gxax21xee为自然对数的底数）与hx2l
x的图像上存在关于x轴对称的点，则e
实数a的取值范围是（）
A．112e2
【答案】B
B．1e22
C．12e22e2
D．e22
考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题
【变式演练4】定义在R上的奇函数fx，对于xR，都有f3xf3x，且满足f42，
4
4
f2m3，则实数m的取值范围是

m
【答案】m1或0m3
3
f试题分析：由f3xf3x，因此函数fx图象关于直线x3对称，又fx是奇函数，因此它也是周期函
4
4
4
数，且T433，∵f42，∴f4f42，∴f2f232f4，即m32，解得
4
m
x1或0x3
考点：函数的奇偶性、周期性
【高考再现】
1【2016高考新课标2理数】已知函数fxxR满足fx2fx，若函数yx1与yfx图像的交x
m
点为x1y1x2y2xmym则xiyi（）i1
（A）0
（B）m
（C）2m
（D）4m
【答案】C
试题分析：由于fxfx2，不妨设fxx1，与函数yx111的交点为1210，故
x
x
x1x2y1y22，故选C
考点：函数图象的性质
【名师点睛】如果函数fx，xD，满足xD，恒有faxfbx，那么函数的图象有对称轴xab；2
如果函数fx，xD，满足xD，恒有faxfbx，那么函数的图象有r