第三节
平面向量的数量积与平面向量应用举例
1．向量的夹角定义
已知两个非零向量a和b，作—O→A＝a，—O→B＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
图示
范围
共线与垂直
设θ是a与b的夹角，θ＝0°或θ＝180°a
则θ的取值范围是∥b，θ＝90°a⊥b
0°≤θ≤180°
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量abcosθ叫做a与b的数量积，记作ab
投影
acosθ叫做向量a在b方向上的投影，bcosθ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosθ的乘积
3．向量数量积的运算律
1ab＝ba
2λab＝λab＝aλb．
3a＋bc＝ac＋bc
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，a与b的夹角为θ
结论
几何表示
坐标表示
模夹角a⊥b的充
a＝aacosθ＝aabb
a＝x21＋y21
cosθ＝
x1x2＋y1y2x21＋y12x22＋y22
要条件ab与ab的关系
ab＝0ab≤ab
x1x2＋y1y2＝0x1x2＋y1y2≤
fx21＋y21x22＋y22
小题体验
1．已知a＝2，b＝6，ab＝－63，则a与b的夹角θ为
Aπ6
Bπ3
答案：D
C23π
D56π
2．已知向量a和向量b的夹角为30°，a＝2，b＝3，则向量a和向量b的数量积ab
＝
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C由题意可得ab＝abcos〈a，b〉＝2×3×23＝3
3．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则a＋3b＝
A7B10C13
D．4
解析：选C依题意得ab＝12，
则a＋3b＝a2＋9b2＋6ab＝13
4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋1－tb若bc＝0，则t＝________
解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以ab＝12，
由bc＝0，得bta＋1－tb＝0，即tab＋1－tb2＝0，所以12t＋1－t＝0，所以t＝2答案：25．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则—A→E—B→D＝________解析：选向量的基底为—A→B，—A→D，则—B→D＝—A→D－—A→B，—A→E＝—A→D＋12—A→B，所以—A→E—B→D
＝AD—→＋12AB—→—A→D－—A→B＝2
答案：2
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，ab＝aca≠0不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有ab＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab＜0，反之不成立．
f3．ab＝0不能推出a＝0或b＝0，因为ab＝0时，有可能a⊥b
4．在用a＝a2求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．
小题纠偏
1．若a，b是两个互相垂r