高中数学竞赛知识拓展
高斯函数，又称为取整函数，常用的性质有：x1x≤xx1x
x
xx
∈Zxy≤xy≤xy1等与函数有关的几个重要结论结论1设函数yfx是定义在R上的奇函数（1）若fx在R上为单调函数，则fx1fx2x1x2（2）若fx在R上为增函数，则fx1fx2x1x2（3）若fx在R上为减函数，则fx1fx2x1x2结论2设函数yfx是定义在R上的偶函数（1）若fx在0∞上为增函数，则fx1fx2x1x2（2）若fx在0∞上为减函数，则fx1fx2x1x2奇、偶函数的概念可以推广：定义1对于函数fxx∈R，若存在常数a，使得其函数定义域内任意一个x都有faxfax或f2axfx则称fx为广义（1）型偶函数。显然，当a0时，fx为一般的偶函数。对于函数fxx∈R，若存在常数a，使得其函数定义域内任意一个x都有faxfax或f2axfx则称fx为广义（1）型奇函数。显然，当a0时，fx为一般的奇函数。定义2对于函数fxx∈R，若存在常数ab，使得其函数定义域内任意一个x，都有faxfbx则称fx为广义（2）型偶函数。显然，当ab时，fx为广义（1）型偶函数；当ab0时，fx为一般的偶函数。对于函数fxx∈R，若存在常数ab，使得其函数定义域内任意一个x，都有faxfbx则称fx为广义（2）型奇函数。显然，当ab时，fx为广义（1）型奇函数；当ab0时，fx为一般的奇函数。定义3对于函数fxx∈R，若存在常数abm
m0
0，使得其定义域内任意一个x，都有famxfb
x则称fx为广义（3）型偶函数。显然，当m
1时，fx为广义（2）型偶函数；当ab0且m
时，fx为一般的偶函数。对于函数fxx∈R，若存在常数abm
m0
0，使得其定义域内任意一个x，都有famxfb
x则称fx为广义（3）型奇函数。显然，当m
1时，fx为广义（2）型奇函数；当ab0且m
时，fx为一般的奇函数。
f结论3设fx为定义在R上的广义（2）型偶函数（1）若fx在ab2∞上为增函数，则fx1fx2x1ab2x2ab2（2）若fx在ab2∞上为减函数，则fx1fx2x1ab2x2ab2结论4设fx为定义在R上的广义（2）型奇函数（1）若fx在R上为单调函数，则fx1fx2x1ab2x2ab2（2）若fx在R上为增函数，则fx1fx2x1ab2x2ab2（3）若fx在R上为减函数，则fx1fx2x1ab2ab2x2结论5设ab是两个相异的实数，则（1）当fx关于ab均为广义（1）型偶函数时，fx为周期函数，且2ba为其一r