斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……如果设F
为该数列的第
项
∈N
则F1F21F
F
1F
2
3
显然这是一个线性递推数列
推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为：x2x1
解得x1
12
5

x2
12
5

则
F

c1x1


c
2
x

2

F1F21
c1x1c2x2c1x12c2x221
解得c1
15

x2


15
F

15

1
2
5


1
2
5




推导方法二：待定系数法
设常数st，使得F
sF
1tF
1sF
2
则st1st1
≥3时，有
F
sF
1tF
1sF
2F
1sF
2tF
2sF
3F
2sF
3tF
3sF
4
F3sF2tF2sF1
f将以上
2个式子相乘，得：
F
sF
1t
2F2sF1
t1sF1F21
上式可化简为：F
t
1sF
1
F
t
1sF
1
t
1st
2s2F
2
t
1st
2s2t
3s3F
3

t
1st
2s2t
3s
2ts
1F1
t
1st
2s2t
3s
2ts
1
t

1
1


s




t
1s
t
t
s
ts
st1st1的一解为s15t15
2
2
F

15

1
2
5



1
2
5




fr