第五章二次型练习题
一、填空题
22x11．实二次型x1x2的矩阵为41x2
为，规范形为
，秩为
__
，正惯性指数
2．两个
元实二次型等价的充分必要条件是3．实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为与下列形式之一合同标准形合同：4．A正定
2225．某四元二次型有标准形2y123y2y34y4，则其规范形为
．类．任一三级实对称
．．．．
6复二次型fx1x2Lx
的规范形由
所唯一确定
二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由．每小题5分，共20分）判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由每小题
1．
元实二次型fx1x2Lx
xAx的符号差与秩有相同的奇偶性．2．
阶实对称矩阵A若满足A0，则A正定．
3．A为
阶复对称矩阵，则A与A合同．
A04．设A，B分别是m
阶正定矩阵，则0B也是正定矩阵．
5设A、B为
阶方阵，若存在
阶方阵C，使C′ACB，则A与B合同
6若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素皆大于零
7．若A负定，则A的所有顺序主子式全小于零
三、计算题（每小题15分，共45分）计算题（
1．用可逆线性替换将二次型fx1x2x3x1x2x1x3x2x3化为标准形．写
出所用的线性变换及变换矩阵，并求出f的正惯性指数与符号差．
22确定t的值，使二次型fx1x2x3x12x25x32tx1x22x1x34x2x3正定．2．
1
f3．设有
元实二次型
fx1Lx
x1a1x22x2a2x32Lx
1a
1x
2x
a
x12
其中aii1L
为实数，试问：当a1a2La
满足何种条件时，二次型fx1Lx
为正定二次型四、证明题1证明：若A为负定矩阵，则存在可逆矩阵P，使A＋PP＝02、实二次型fx1x2Kx
∑∑aijxixjX′AXA′A，且秩A＝
i1j1

二
次型gx1x2Kx
∑∑
i1j1



AijA
xixj，证明：f与g具有相同的符号差，因而有相
同的正负惯性指数3设
阶矩阵210L00121L00012L00A
LLLLLL000L21000L12
求矩阵A3的行列式，并证明A
是正定的
4设A是m×
矩阵，rA
证明AA是正定矩阵
2
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