首项为正数的数列a
满足a
1
12a
3
N4
（I）证明：若a1为奇数，则对一切
2a
都是奇数；（II）若对一切
N都有a
1a
，求a1的取值范围。解：（I）已知a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中m为正整数，
ak23则由递推关系得ak1mm11是奇数。4
根据数学归纳法，对任何
N，a
都是奇数。（II）（方法一）由a
1a

1a
1a
3知，a
1a
当且仅当a
1或a
3。4
3231331；若ak3，则ak144
另一方面，若0ak1则0ak1
根据数学归纳法，0a110a
1
Na13a
3
N综合所述，对一切
N都有a
1a
的充要条件是0a11或a13。（方法二）由a2
a123a1得a124a130于是0a11或a13。4
a
1a

a
23a
123a
a
1a
a
1444
a
23所以所有的a
均大于0，因此a
1a
与a
a
1同号。因为a10a
14
根据数学归纳法，
N，a
1a
与a2a1同号。因此，对一切
N都有a
1a
的充要条件是0a11或a13。已知数集Aa1a2a
1a1a2a
2具有性质P：对任意的
ij1ij
，aiaj与
ajai
两数中至少有一个属于A
（Ⅰ）分别判断数集134与1236是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a11，且
a1a2a
a
；11a11a2a

f（Ⅲ）证明：当
5时，a1a2a3a4a5成等比数列（Ⅰ）由于34与
ks5
4均不属于数集134，∴该数集不具有性质P3661236由于12131623都属于数集1236，231236
∴该数集具有性质P
（Ⅱ）∵Aa1a2a
具有性质P，∴a
a
与
a
中至少有一个属于A，a

由于1a1a2a
，∴a
a
a
，故a
a
A从而1
a
A，∴a11a

∵1a1a2a
，∴aka
a
，故aka
Ak23
由A具有性质P可知
a
Ak123
ak
又∵
a
aaa

，a
a
1a2a1
∴
a
aaaa1
a2
a
1
a
，a
a
1a2a1a
a
aa
a1a2a
1a
，a
a
1a2a1
从而
∴
a1a2a
a
11a11a2r