实验名称：牛顿法解非线性方程组
1引言
我们已经知道，线性方程组我们可以采取Jacobi迭代法，GS迭代法以及SOR迭代方法求解。而在科学技术领域里常常提出求解非线性方程组的问题，例如，用非线性函数拟合实验数据问题、非线性网络问题，用差分法求解非线性微分方程问题等。
我们在解非线性方程组时，也考虑用迭代法求解，其思路和解非线性方程式一样，首先要将Fx0转化为等价的方程组
xigix1x2x
i12

或者简记为xg（x），其中giR
RgR
R

g1x
x1
gx

g

2x
x


x
2



R



g
x
x

迭代法：首先从某个初始向量x0开始，按下述逐次代入方法构造一向量序列xk：
xk1i

gix1k
x
ki12


其中，xkx1kx2kx
kT。
或写成向量形式：xk1gxkk012
如果limxkk

x（存在），称xk为收敛。且当gix为连续函数时，可得
xglimxkgxk
说明x为方程组的解。又称为xg（x）的不动点。本实验中采用牛顿迭代法来求解非线性方程组。
2实验目的和要求
运用matlab编写一个m文件，要求用牛顿法非线性方程组：
x1

12
cosx2

x
2

1si
2
x1

0取x0
0
00T要求
xk1xk
103
f3算法原理与流程图
1、算法原理设有非线性方程组Fx0
其中：Fxf1xf2xfkxT
由fix偏导数作成的矩阵记为Jx或Fx称为Fx的Jacobi矩阵
f1x

x1
Jx

F
x

f2xx1



f
xx1
f1xx2f2xx2
f
xx2
f1x
x


f2x
x


f
x
x
设x为Fx0的解，且设xkx1kx2kx
kT，为x的近似解，现利用多元函数
fix在xk点的泰勒公式有
fix

fixkx1

x1k

fixkx1


x


x
k

fixkx



12

xj
jl1

x
kj
xl

xlk

2fiCixjxl

PixR
其中，Ci在xk与x的所连的线段内。
如果用泰勒公式中的线性函数Pix近似代替fix，并将线性方程组
Pix

fixkx1

x1k

fixkx1


i12

x


x
k


fixkx



0
的解作为x的第k1次近似解记为xk1将上述方程写成矩阵形式：FxkJxkxxk0
如果Jxk为非奇异矩阵，则得到牛顿迭代公式：
f
x0初始向量
xk1xkJxk1Fxkk012
求解非线性方程组Fx0牛顿法或为
x0

JxkxkFxk
xk1xkxk

用上式可知，每计算一步xkxk1，需要：
（1）计算矩阵Jxk及Fxk；
（2）求解一个线性方程组：JxkxkFxk
（3）计算xk1xkxk。2、流程图见附图1
4程序代码及注释
牛顿法解r