当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab
∴30－ab≥22ab
令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤321
∴ab≤32，ab≤18，∴y≥18点评：①本题考查不等式abab（abR）的应用、不等式的解法及运算能力；②
2
如何由已知不等式aba2b30（abR）出发求得ab的范围，关键是寻找到
ab与ab之间的关系，由此想到不等式abab（abR），这样将已知条件转换2
为含ab的不等式，进而解得ab的范围
技巧九、取平方
例求函数y2x152x1x5的最大值。
2
2
解析：注意到2x1与52x的和为定值。
y22x152x2422x152x42x152x8
又y0，所以0y22
当且仅当2x152x，即x3时取等号。
2
故ymax22。
应用二：利用均值不等式证明不等式
例：已知
a、b、c
R
，且
a

b

c

1。求证：

1a
1

1b
1

1c

1

8
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，
又111abc2bc，可由此变形入手。
a
aa
a
f解：a、b、cR，abc1。111abc2bc。同理112ac，
a
aa
a
b
b
112ab。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
c
c

1a
1
1b
1
1c
1

2
bca
2acb
2ab8。当且仅当abc1时取等号。
c
3
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知x0y0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy
解：令xykx0y0191，xy9x9y110y9x1
xy
kx
ky
kkxky
11023。k16，m16
kk
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若
ab1PlgalgbQ1lgalgbRlgab，则PQR的大小关系
2
2
是

分析：∵ab1∴lga0lgb0
Q1（lgalgblgalgbp2
Rlgablgab1lgabQ
2
2
∴RQP。
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