法运用均值不等式，可先换元，令tx＋1，化简原式在分离求最值。
t127t1）10t25t44
y

t5
t
t
t
当
即t
时y2t459（当t2即x＝1时取“＝”号）。t
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数fxxa的单x
调性。
例：求函数yx25的值域。x24
解：令x24tt2，则yx25x241t1t2
x24
x24
t
因t0t11，但t1解得t1不在区间2，故等号不成立，考虑单调性。
t
t
因为yt1在区间1单调递增，所以在其子区间2为单调递增函数，故y5。
t
2
所以，所求函数的值域为

52



。
技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
例：已知x0y0，且191，求xy的最小值。xy
错．解．：
x

0y
0
，且
1x

9y
1
，
x
y


1x

9y


x

y
2
92xy
xy12
故
xy12。mi
错因：解法中两次连用均值不等式，在xy2xy等号成立条件是xy，在
192xy
9等号成立条件是19即y9x取等号的条件的不一致，产生错误。因此，
xy
xy
f在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否
有误的一种方法。
正解：
x

0
y

0
1x

9y
1，x
y

x
y


1x

9y


yx

9xy
10
610
16
当且仅当y9x时，上式等号成立，又191，可得x4y12时，xy16。
xy
xy
mi

技巧七例：已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值
a2＋b2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤2。
1同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为2，x1＋y2＝x
1＋y222＝2
1y2
x
＋
22
下面将x，
1y22＋2分别看成两个因式：
1y2
y21
1y2
x2＋
2＋22x2＋2＋2
3
x2＋2≤
2
＝
2
＝4即x1＋y2＝2x
1y232＋2≤42技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝a1b的最小值
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问
题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等
式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考
虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
f30－2b法一：a＝b＋1，
30－2b－2b2＋30bab＝b＋1b＝b＋1
由a＞0得，0＜b＜15
－2t2＋34t－31
16
16
16
令t＝b1，1＜t＜16，ab＝
t
＝－2（t＋t）＋34∵t＋t≥2tt
＝8
∴ab≤18
1∴y≥18当且仅r