基本不等式专题
知识点：
11若abR，则a2b22abab时取“”）
2若abR，则aba2b2
2
（当且仅当
21若abR，则abab2若abR，则ab2ab（当且仅当2
ab时取“”）
3若abR，则abab2当且仅当ab时取“”）
2
3若x0，则x12当且仅当x1时取“”）x
若x0，则x12当且仅当x1时取“”）x
若x0，则x12即x12或x12当且仅当ab时取“”）
x
x
x
4若ab0，则ab2当且仅当ab时取“”）若ab0，则
ba
ab2即ab2或ab2当且仅当ab时取“”）
ba
ba
ba
5若abR，则ab2a2b2（当且仅当ab时取“”）
2
2
注意：
1当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
2求最值的条件“一正，二定，三取等”
3均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有
广泛的应用
应用一：求最值
例：求下列函数的值域
1（1）y＝3x2＋2x2
1（2）y＝x＋x
1解：1y＝3x2＋2x2≥2
13x22x2＝6∴值域为6，∞）
12当x＞0时，y＝x＋x≥2
1xx＝2；
f1
1
当x＜0时，y＝x＋x－（－x－x）≤－2
1xx－2
∴值域为（－∞，－2∪2，∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例已知x5，求函数y4x21的最大值。
4
4x5
解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又4x21不是常数，所以对4x2
4x5
要进行拆、凑项，
x

54
5

4
x

0
，
y

4x

2

14x
5



5

4x

5
14x


3

2

3

1
当且仅当5
4x

154x
，即
x
1时，上式等号成立，故当
x
1时，
ymax
1。
技巧二：凑系数
例：当
时，求yx82x的最大值。
解析：由
知，
，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，
此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x82x8为定值，故只需将
yx82x凑上一个系数即可。
当
，即x＝2时取等号当x＝2时，yx82x的最大值为8。
变式：设0x3，求函数y4x32x的最大值。2
解：∵0

x

32
∴3
2x

0∴
y

4x3
2x

22x32x

22x
32
2x2

92
当且仅当2x32x即x303时等号成立。42
技巧三：分离技巧四：换元
例：求yx27x10x1的值域。x1
f解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当
即
时y2（x1459（当且仅当x＝1时取“＝”号）。x1
解析二：本题看似无r