x0x0δ时fx0，则fx在x0处取得极小值；（2）若当x∈x0
δ，x0时fx0，当x∈x0x0δ时fx0，则fx在x0处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设fx在x0的某领域x0δx0δ内一阶可导，在xx0处二阶可导，且
fx00fx00。（1）若fx00，则fx在x0处取得极小值；（2）若fx00，
则fx在x0处取得极大值。13．罗尔中值定理：若函数fx在ab上连续，在ab上可导，且fafb，则存在ξ∈ab，
使f0
证明若当x∈ab，fx≡fa，则对任意x∈ab，fx0若当x∈ab时，fx≠
2
ffa，因为fx在ab上连续，所以fx在ab上有最大值和最小值，必有一个不等于fa，
不妨设最大值mfa且fcm，则c∈ab，且fc为最大值，故fc0，综上得证。
14．Lagra
ge中值定理：若fx在ab上连续，在ab上可导，则存在ξ∈ab，使
ffbfaba
证明令Fxfxfbfaxa则Fx在ab上连续，在ab上可导，且FaFb，ba
所以由13知存在ξ∈ab使F0，即ffbfaba
15．曲线凸性的充分条件：设函数fx在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈Ifx0
则曲线yfx在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈Ifx0则yfx在I内是上凸的。通
常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16．琴生不等式：设α1α2…α
∈R，α1α2…α
1。（1）若fx是ab上的凸函数，则x1x2…x
∈ab有fa1x1a2x2…a
x
≤a1fx1a2fx2…a
fx

二、极限1、数列极限：
0
（1）公式：limC

C（C为常数）；lim

1
p
0（p0）；limq


1
不存在
q1
q1

q1或q1
（2）运算法则：
若数列a
和b
的极限都存在，则a
和b
的和、差、积、商的极限等于a
和b
的
极限的和、差、积、商
例题：①将直线l1xy10、l2
xy
0、l3x
y
0（
N，
2）
围成的三角形面积记为S

，则
lim

S



②
已知
p
和
q
是两个不相等的正整数，且
q
≥
2
，则
lim
→
11
1
1

p
q
11

．
习题：①lim1352
1



2
1
②
设
0ab，则
lim

4b
a
b

_
____
3
f③若lim1a
12，则a
．

→
a
④lim
1
等于
．

2
21
21
⑤
数列

14
2
1
的前


项和为
S
，则
lim

S

＝________
⑥已知数列
a

的首项a1
0，其前
项的和为S
，且S
1
2S


a1
，则
lim

a
S



2、函数极限：
1
（1）公式：limCCx
（C
为常数）；
lim
x


p
0
（p0）；
0
lim
ax

1
x
不存在
a1
0
a1
；
lim
ax

1
x
a1或a1r