第十二章极限和导数
第十四章极限与导数
一、基础知识1．极限定义：（1）若数列u
满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当
m且
∈N时，恒有
u
Aε成立（A为常数），则称A为数列u
当
趋向于无穷大时的极限，记为limfxlimfx，
x
x
另外limfxA表示x大于x0且趋向于x0时fx极限为A，称右极限。类似地limfx表示x小
xx0
xx0
于x0且趋向于x0时fx的左极限。
2极限的四则运算：如果limfxalimgxb，那么limfx±gxa±b
xx0
xx0
xx0
limfxgxablimfxab0
xx0
xx0gxb
3连续：如果函数fx在xx0处有定义，且limfx存在，并且limfxfx0，则称fx在xx0
xx0
xx0
处连续。
4．最大值最小值定理：如果fx是闭区间ab上的连续函数，那么fx在ab上有最大值和最
小值。
5．导数：若函数fx在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因
1
f变量y也随之取得增量ΔyΔyfx0Δxfx0若limy存在，则称fx在x0处可导，此极限x0x
值称为
fx在点
x0处的导数（或变化率），记作
fx0或yxx0
或dydxx0
，即
fx0limxx0
fxfx0。由定义知xx0
fx在点
x0连续是
fx在x0可导的必要条件。若
fx在
区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：fx在点x0处导
数fx0等于曲线yfx在点Px0fx0处切线的斜率。
6．几个常用函数的导数：（1）c0（c为常数）；（2）xaaxa1（a为任意常数）；（3）
si

x
cosx4cosx
si

x
5ax
ax
l

a
6ex

ex
（7）log
a
x

1x
loga
x
；
（8）l
x1x
7．导数的运算法则：若uxvx在x处可导，且ux≠0则
（1）uxvxuxvx；（2）uxvxuxvxuxvx；（3）cuxcux
（c为常数）；（4）1ux；（5）uxuxvxuxvx。
uxu2x
ux
u2x
8．复合函数求导法：设函数yfuux，已知x在x处可导，fu在对应的点uux
处可导，则复合函数yfx在点x处可导，且（fxfxx
9导数与函数的性质：（1）若fx在区间I上可导，则fx在I上连续；（2）若对一切x∈ab
有fx0，则fx在ab单调递增；（3）若对一切x∈ab有fx0，则fx在ab单
调递减。
10．极值的必要条件：若函数fx在x0处可导，且在x0处取得极值，则fx00
11极值的第一充分条件：设fx在x0处连续，在x0邻域x0δx0δ内可导，（1）若当x∈x
δx0时fx0，当x∈r