第6讲
【2013年高考会这样考】
正弦定理和余弦定理
1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．
基础梳理abc1．正弦定理：si
A＝si
B＝si
C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：1a∶b∶c＝si
A∶si
B∶si
C；2a＝2Rsi
_A，b＝2Rsi
_B，c＝2Rsi
_C；abc3si
A＝2R，si
B＝2R，si
C＝2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝a2＋b2－c22ab111abc13．S△ABC＝2absi
C＝2bcsi
A＝2acsi
B＝4R＝2a＋b＋c是三角形外接圆半rR径，r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
1
b2＋c2－a2a2＋c2－b2，cosB＝2ac，cosC＝2bc
fA为锐角
A为钝角或直角
图形关系式解的个数a＜bsi
Aa＝bsi
Absi
A＜a＜ba≥ba＞ba≤b
无解
一解
两解
一解
一解
无解
一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsi
A＞si
B两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：1已知两角及任一边，求其它边或角；2已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况2中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：1已知两边及夹角求第三边和其他两角；2已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：1化边为角；2化角为边，并常用正弦余弦定理实施边、角转换．双基自测1．人教A版教材习题改编在△ABC中，A＝60°B＝75°a＝10，c等于，，则A．52106C3B．102D．56．
解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，ac由正弦定理得：si
A＝si
C，即10c106＝∴c＝33222
2
f答案Csi
AcosB2．在△ABC中，若a＝b，则B的值为A．30°B．45°C．60°D．90°．
解析由正弦定理知：si
AcosBsi
A＝si
B，∴si
B＝cosB，∴B＝45°答案B3．2011郑州联考在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于A．30°B．45°C．60°D．75°．
解析由余弦定理得：cosA＝∵0＜A＜π，∴A＝60°答案C
b2＋c2－a21＋4－31＝＝，2bc2×1×22
14．在△ABC中，a＝32，b＝23r