2
12
1
14、0
15、z±1
16、l
2i
π
2
17、1
18、∑1
z
0
19、si
1cos1
120、ee12
21、解:由偏导数
ux6x2,uy0,vx0,vy9y2
22
(2分)
均连续,且6x9y时才满足CR条件知,fz仅在直线2x±3y0上可导,(3分)在复平面上处处不解析。(2分)
《复变函数》第3页共7页
f22、解:
112z∵fz2(1分)5z2z1
∞1z∴在1z2内,∑1
1z2(2分)z2
022z2z121∞2i2∑1
z2
,z1,(2分)z21z11z2zz
0
∞1∞z1
1∞21
1∴fz∑1
1∑2
1∑5
02z2
0z
0
(2分)
23、解:对uv求,x和y的偏导数得:
uvuu2x2y,即2x2y,xxxyuvuu2y2x,即2y2x,yyyx
解得
(3分)
u2yy
从而,由于
,
u2xx
。,(1分)
u∫2ydygxy2gx
ugx2x,所以gxx2C1,即xu∫2ydygxy2x2C1。
v∫2ydxy2yxy,
(1分)
同理,由
vu2x,′y0,得yC2,即yxv2yxC2C1C2C,于是fzy2x2Ci2yxCfxx2Ci1,所以fzz2Ci1y0,得
(1分)
又由题设知令
(1分)
《复变函数》
第4页共7页
f24、解:不论圆心在z1或-1,当R2时,C内有两个奇点z1和-1。依复合闭路定理,作简单曲线C1和C2分别包含1和-1,且互不相交互不包含。(2分)
dzCz13z141dz∫iC1z14z13
∫
∫
C2
1dziz13z14
2πi2
1z145πi5πi16160
25、解:
′′′′′2πi13z13z1z1
(4分)
(1分)
∴∫
∞
0
xsi
xπe1dx。1x22
xexzez∵∫dx2πiResiπie122∞1x1z∞xsi
x∴∫dxπe12∞1x
∞
(3分)(3分)(1分)
26、解:C为x2y22xy,即(2分)由留数定理得
x12y122,是以点11为圆点,半
径为2的圆周。在C内,被积函数的奇点z1为2级极点,zi为1级极点。
I2πiResfz1Resfzi
《复变函数》第5页共7页
(3分)
f′112πilimz12ilimzir