第九届东南地区数学奥林匹克试题
参考解答
第一天
1求一个正整数组lm
1lm
，使得k
k1l
kl1

m
k
km1



k依次成等比
数列．（陶平生提供）
t
解
对tN，记St

k
k1

tt12
．设
k
k1
l
Sl
kl1

m
kSmSl
km1



kS
Sm
依次成等比数列，则
SlS
SmSmSl，
2
22即SlS
SmSlSm，于是应有SlSm，即2ll1mm1．
①
2
2
令m1ll1，并取l3，于是m11，则SlS36SmS1166，代人①得S
666，即

12666，此时
36满足．
因此lm
31136是一组满足条件的解．注
4满足条件的数组lm
不是唯一的，例如还有81113591，
21262324171等等，（可以证明，这种数组有无穷多）．
1
f2如图，△ABC的内切圆I在边ABBCCA上的
G
切点分别是DEF，直线EF与直线AIBIDI分别相交于点MNK．证明：DMKEDNKF．（张鹏程提供）证明易知IDEB四点共圆．又
ADNFK
M
C
EIB
AID90IAD，MEDFDA90IAD，


所以AIDMED，于是IDEM四点共圆．从而IDBEM五点共圆，IMBIEB90，即AMBM．

同理，IDANF五点共圆，且BNAN．设直线ANBM交于点G，则易知点I为△GAB的垂心．又IDAB，所以GID共线．由GNDB四点共圆，知ADNG．同理BDMG．所以DK平分MDN，从而
DMDNKMKN
．
①
又由IDEM；IDNF分别共圆，知
KMKEKIKDKFKN，
所以
KMKNKFKE
．
②
由①，②，知
DMDN

KFKE
，即DMKEDNKF．
2
f3对正合数
，记f
为其最小的三个正约数之和，g
为其最大的两个正约数之和．求所有的正合数
，使得g
等于f
的某个正整数次幂．（何忆捷提供）解法一若
是奇数，
的一切约数都是奇数，则故由题意知f
为奇数，g
为偶数，这样g
不可能等于f
的某个正整数次幂．因此只需考虑
是偶数的情况，此时12是
最小的两个正约数，

2
是
最大的两个正约数．
设d是
除12以外的最小正约数．若存在kN使g
f
，则

k
3
2
12d3ddmod3．
kkk
由于
3
2
显然是3的倍数，故3d，r