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§112导数的概念
教学目标:
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数
教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念;
教学难点:导数的概念.
教学过程:
一.创设情景
(一)平均变化率
(二)探究:计算运动员在0t65这段时间里的平均速度,并思考以下问题:49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究过程:如图是函数ht49t265t10的图像,结合图形可知,h65h0,49
h65h0
h
所以v49
0sm,
650
49
虽然运动员在0t65这段时间里的平均速度为0sm,但实际49
情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描
述运动员的运动状态.二.新课讲授
o
t
1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一
时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,t2时的瞬时速度是多少?考察t2附近的情况:
思考:当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?结论:当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,
1
f平均速度v都趋近于一个确定的值131.
从物理的角度看,时间t间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度,
因此,运动员在t2时的瞬时速度是131ms
为了表述方便,我们用limh2th2131
t0
t
表示“当t2,t趋近于0时,平均速度v趋近于定值131”
小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度
的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2导数的概念
从函数yfx在xx0处的瞬时变化率是
limfx0xfx0limf
x0
x
x0x
我们称它为函数yfx在xx0出的导数,记作fx0或yxx0,即
f
x0

lim
x0
f
x0
xx
f
x0
说明:(1)导数即为函数yfx在xx0处的瞬时变化率
(2)x

xx0,当x0时,x

x0,所以
f
x0

lim
x0
f
xx
fx0x0
三.典例分析
例1.(1)求函数y3x2在x1处的导数
分析:先求ΔfΔyf1+Δxf16ΔxΔx2
再求f6x再求limf6
x
x0x
解:法一定义法(略)
法二:
y
x1

lim
x1
3x2312x1
lim3x212xr
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