复变函数与积分变换复习提纲
第一章复变函数一、复变数和复变函数
wfzuxyivxy
二、复变函数的极限与连续
极限limfzAzz0
连续
lim
zz0
fz

fz0
第二章解析函数
一、复变函数wfzuxyivxy可导与解析的概念。
二、柯西黎曼方程
掌握利用
CR
方程
uxuy

vyvx
判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：
f
z

fx

ux
ivx

1fiy

iuy
vy
uxiuyivxvy
三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。1、幂函数与根式函数
wz
r
cosisi
r
cos
isi
r
ei
单值函数
w

z
1iargz2k
r
e

k0、1、2、…、
1
2、指数函数：wezexcosyisi
y

多值函数
性质：（1）单值（2）复平面上处处解析，ezez（3）以2i为周期
3、对数函数
wL
zl
ziargz2kl
zi2k
（k0、±1、±2……）
性质：（1）多值函数（2）除原点及负实轴处外解析（3）在单值解析分枝上l

zk

1zk
。
4、三角函数：coszeizeiz2
si
zeizeiz2i
性质：（1）单值（2）复平面上处处解析（3）周期性（4）无界
5、反三角函数（了解）
反正弦函数wArcsi
z1L
iz1z2i
1
f反余弦函数wArccosz1L
zz21i
性质与对数函数的性质相同。
zees
sL
z
sl
z2kargzi
6、一般幂函数：
四、调和函数与共轭调和函数：
（k0、±1…）
1调和函数2uxy0
2已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）有三种方法：a）全微分法b）利用CR方程c）不定积分法
第三章解析函数的积分
一、复变函数的积分
fzdzudxvdyivdxudy存在的条件。
l
l
l
二、复变函数积分的计算方法
1、沿路径积分：fzdz利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。c
2、闭路积分：afzdzc
利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
buxyivxydzc
三、柯西积分定理：
cfzdz0
推论1：积分与路径无关
fzdzz2fzdz
c
z1
推论2：利用原函数计算积分
z2z1
f
zdz

Fz2Fz1
推论3：二连通区域上的柯西定理
c1fzdzc2fzdz
推论4：复连通区域上的柯西定理
利用参数积分方法


cfzdzk1
ck
fzdz
四、柯西积分公式：fz1fd
2icz
c
fz


z
dzz0

2if

z0

2
f五、高阶导数公式：
f
z
2i
c
f
z
1
d
解析函数的两个重要性质：
解析函数fz在任一点z的值可以通过函数沿包围点z的任一简单闭合回路的积分表示。
解析函数有任意阶导数。
本章重点：掌握复变函数积分的计算方法
沿路径积分fzdz1）利用参数法积分2）利用原函数计算积分。c
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