路积分fzdz利用留数定理计算积分。c
第四章解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径：

a
zb

0
1、一个收敛半径为R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数fz是解析函数，在这个收敛圆内，这
个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：

fz
a
zb
1
zbR
zf
0

zdz
0
z
la

zb
dz
a
z
1

0
1
2、收敛半径的计算方法
1）
比值法：
R

lim

a


a
1
zbR
2）根值法：R
1lim

a

二、泰勒（Taylor）级数
1、如函数fz在圆域zbR内解析，那么在此圆域内fz可以展开成Taylor级数
fz


a
z
0
b


0
f

bzb


1）展开式是唯一的。故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor级数。
2收敛半径是展开点到fz的所有奇点的最短距离。
3）展开式的系数可以微分计算：
a

f
b

4）解析函数可以用Taylor级数表示。
3
f2、记住一些重要的泰勒级数：
1）
1

z

1z
0
2）ezz

0

3）si
z
1
z2
1

02
1
4）cosz1
z2
02

三、罗兰（Laure
t）级数

如果函数fz在圆环城R1zbR2内解析，则fzc
zb
x
c


12i
fzlzb
1dz
（
0、±1、±2……）1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为Laure
t级数。2、展开式的系数是不可以利用积分计算。利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成Laure
t级
数。3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。
四、孤立奇点
1、定义：若b是fz的孤立奇点，则fz在0zb内解析。在此点fz可展开为罗兰级数，

1

fzc
zb
c
zb
c
zb




0
2、分类：
可去奇点无负幂项Resfzb0孤立奇点极点有限负幂项
本性奇点无穷多负幂项Resfzbc1
3、极点留数计算
把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C1
a如果b是fz的一阶极点，则Resfzblimzbfzzb
b如果b是fz的m阶极点，则
Re
s
f
zb

m
1
1
lim
zb
dm1dzm1
z

bm
f
z
c
如b是
fz
PzQz

的一阶极点，且
Pb≠0，那么
Re
s
QPzzb

PbQb
4
fd
Re
s
f
z


Re
s
f

1z

1z2
0
e若z是fz的可去奇点，并且limfz0，z
Re
s
f
z

C1


lim
z
zf
z
关系：全平面留数之和为零。

ResfzbkResfz0
k1
本章重点：函数展开成Taylor级数，并能写出收敛半径。函数在解析圆环城内展开成Laure
t级数。
孤立奇点（包含z点）的判定及其留数的计算。
第五章留数定理的应用
一、2Rsi
cosd0
条件：（1）Rsi
，cos为cos与si
的有理函数（r