l1yk
Pxk

1
O
C
B1y20
x
图13：P点受力分析图参考文献【2】和【3】，我们可以把求该铺设输油管道的总费用
Z
PA
PB
1PC的最小问题看作求独立系统势能最小问题。
定理：（独立体系势能最小原理）当独立系统势能最小时，系统达到平衡状态，系统所受合力为零。该定理结论如图14所示：
8
fAP
B
C
q1
q2
q3
图14：势能最小原理图由图14所示，三个物体q1、q2、q3和线段PA、PB、PC构成势能系统；只有当系统稳定时，势能最小，此时系统所受合力为0。针对本问题，把图13中
、
、
1看成图14三个物体q1、q2、q3；图13中线段PA、PB、PC对应图14中线段PA、PB、PC。用力学平衡原理对点P进行受力分析，沿x轴方向受力分析为：

si
1
si
2（1）；沿y轴方向受力分析为：
cos1
cos2
1（2）。
联立（1），（2）式可以得到：
12（3），cos1cos2
因为OAP1，由余弦定理得：cos1
y1ky1k2x2

1（4）2

（5）
由正切定理得：ta
1
xxx（6），ta
22（7）y1ky2k
联立（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式可以得到方程组：
9
fy1k
1222
y1kx，xxx2y1ky2k
y1y2
12x224
2
12yy2
1x2解得x，k分别为：x，k1。
1224
2
124
2
12
对x，k值分如下进行情况讨论：（1）当k0时，推算出
y1y2x2
14
2
12
，进而计算出x的值为：
y1y2
12x224
2
12y1，x
1y1y24
2
12
此时点P在x轴上坐标为：铺设示意图如下：
y
y10，此种情况没有共用管道，最少费用管道y1y2
Bx2y2
A0y1
O
Px0
B1
x
图15：最少费用管道铺设示意图最省费用为：Zmi
y12
yyy1
121
2
y12x2yyy212
2
10
f（2）当k0，x0时，推算出
yy2y1y2
1，10，此种情况P222x2x24
1
点与A点重合，并且有共用管道，最省管道铺设示意图如下：
y
Bx2y2
A0y1
l1yk
O
P
B1
x
图16：最少费用管道铺设示意图
2y2y12
1y1最省费用为：Zmi
x2
（3）当k0，xx2时，推算出
y1y2x2

14
2
12
，
y1y22x21
1，x24
2
12
（此时y1y2）P点与B点重合，并且有共用管道，最省管道铺设示意图如下：
y
A0y1Bx2y2l1yk
r