中小学1对1课外辅导专家
二次函数
一、基础知识
1定义：一般地，如果yax2bxcabc是常数，a0，那么y叫做x的二次函数
2二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式3二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①yax2（a0；
②yax2k；a0
③yaxh2a0顶点式；
④yaxh2k；（a0
⑤yax2bxc它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y轴的抛物线
4各种形式的二次函数的图像性质如下表：
函数解析式
开口方向
对称轴
yax2
x0（y轴）
顶点坐标（00）
yax2k
yaxh2yaxh2k
当a0时开口向上
当a0时开口向下
x0（y轴）xhxh
0kh0hk
yax2bxc
xb2a
b，4acb22a4a
1抛物线yax2bxc中的系数abc（1）a决定开口方向：几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、
开口大小完全相同，只是顶点的位置不同当a0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：当b0时，对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴
在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧
（3）c决定抛物线与y轴交点位置：当c0时，抛物线经过原点；当c0时相交于y轴的正半
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轴；当c0时则相交于y轴的负半轴
2求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：yax2bxcax
b
2


4ac

b2
，顶点是（
b
，4acb2），对称轴是直线
2a
4a
2a4a
xb2a
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线yax2bxc的解析式化为yaxh2k的形式，得
到顶点为hk，对称轴是直线xh其中hb，k4acb2
2a
4a
（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点3．用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：yax2bxc已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式
（2）顶点式：yaxh2k已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
（3）两点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2
4抛物线与x轴的交点设二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程
ax2bxc0的两个实数根抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定：
（1）b24ac0抛物线与x轴有两个交r