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AC的长2为半径画弧,两弧交于P,Q两点;②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连接CE;③过C作CF∥AB交PQ于点F,连接AF、1求证:△AED≌△CFD;2求证:四边形AECF是菱形.解析:1由作图知PQ为线段AC的垂直平分线,从而得到AE=CE,AD=CD、然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,利用“AAS”证得两三角形全等即可;2根据1中全等得到AE=CF、然后根据EF为线段AC的垂直平分线,得到EC=EA,FC=FA、从而得到EC=EA=FC=FA,利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形.证明:1由作图知PQ为线段AC的垂直平分线,∴AE=CE,AD=CD、∵CF∥AB,∴∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED、在∠EAC=∠FCA,△AED与△CFD中,∠AED=∠CFD,AD=CD,∴△AED≌△CFDAAS;2∵△AED≌△CFD,∴AE=CF、∵EF为线段AC的垂直平分线,∴EC=EA,FC=FA,∴EC=EA=FC=FA,∴四边形AECF为菱形.方法总结:判定一个四边形是菱形把握以下两起点:1以四边形为起点进行判定;2以平行四边形为起点进行判定.探究点二:菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题
__________只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”.解析:∵AD∥BC,∴∠FAD=∠AFB、∵AF是∠BAD的平分线,∴∠BAF=∠FAD,∴∠BAF=∠AFB,∴AB=BF、同理ED=CD、∵AD=BC,AB=CD,∴AE=CF、又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形,则添加的一个条件可以是AC⊥EF、方法总结:菱形的判定方法常用的是三种:1定义;2四边相等的四边形是菱形;3对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【类型二】菱形的性质和判定的综合应用
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF、1求证:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;2若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;3在2的条件下,试确定E点的位置,使得∠EFD=∠BCD,并说明理由.解析:1首先利用“SSS”证明△ABC≌△ADC,可得∠BAC=∠DAC、再证明△ABF≌△ADF,可得∠AFD=∠AFB,进而得到∠AFD=∠CFE;2首先证明∠CAD=∠ACD,再根据“等角对等边”,可得AD=CD、再由条件AB=AD,CB=CD,可得AB=CB=CD=AD,可得四边形ABCD是菱形;3首先证明△BCF≌△DCF,可得∠CBF=∠CDF,再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°,进而得到∠EFD=∠BCD、1证明:在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,AC=AC,
如图,平r
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