§广义最小二乘法
一、广义最小二乘法
普通最小二乘法、加权最小二乘法是广义最小二乘法的特例。
存在序列相关性最常用的方法是广义最小二乘法
YXBU
y1
Y

y2y


1
X

1
1
x11x21
x
1


x1mx2mx
m
b0
u1
B

b1bm

U

u2u


EU0CovUUEUU2
w11




w12
w22

w1



存在异方差
w
1w
2w

设DD用D1左乘YXBU两边
D1YD1XBD1U即
YXBUCovUUEUUED1UUD1D1EUUD1D12D12D1DDD12I用最小二乘法得：BXX1XYXD1D1X1XD1D1Y
X1X1X1Y这就是广义最小二乘法估计模型的参数估计量。
fe12e1e2e1e

矩阵的估计为





e22




e
e1e
e2e
2
二、广义最小二乘法的示例
湖北省病虫灾成灾面积与受灾面积对应关系的分析
病虫灾成灾面积与受灾面积的对应关系的研究对于指导抗灾、救灾有着重
大的意义。从统计分析的角度出发，利用逐年的统计资料将病虫灾成灾面积数据
看成时间序列yi，病虫灾受灾面积数据看成时间序列xi，应用普通最小二乘法可
以建立线性模型给出病虫灾成灾面积与受灾面积之间的线性关系。但这一思路存在着重大的缺陷：没有考虑扰动项的自相关，直观上看病虫灾成灾面积数据有扰动项的自相关。如果确实存在着扰动项的自相关而不加以考虑，它将直接影响到病虫灾成灾面积与受灾面积二者之间关系的准确性。为此，考虑到数据扰动项的自相关，利用19781995年湖北省病虫灾统计数据，先进行检验看是否存在自相关，通过Durbi
Watso
检验后，基于广义最小二乘法，给出湖北省病虫灾成灾面积与受灾面积的对应关系。应用19781995年湖北省病虫灾统计数据见表1
表119781995年湖北省病虫灾统计数据
单位：667公顷
年份病虫受灾面积xi病虫成灾面积yi
年份
病虫受灾面积xi病虫成灾面积yi
197819791980198119821983198419851986
4798742424620848753843485023239745921973
175615133282693212125351183782445857
198719881989199019911992199319941995
727120811977687762462941673693144554
325764
52353057358715735685083240
将病虫灾成灾面积数据看成时间序列yii1218，病虫灾受灾面积数据看成
时间序列xii1218设
yib0b1xiui
ui为扰动项
用普通最小二乘法可得yib0b1xi实际计算的结果为
b0156b10466所以有
fyi1560466xi
应用普通最小二乘法建立的线性模型给出了湖北省病虫灾成灾面积与受灾面积之间的线性关系。这个结果没有考虑扰动项是否有自相关。
扰动项是否有自相关可以用Durbi
Watso
法检验。r