2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次
一、选择题本题满分36分，每小题6分
→→→1．已知△ABC，若对任意t∈R，BA－tBC≥AC，则△ABC一定为A．锐角三角形答C．B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定


→→→解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由BA－tBC≥AC，推出BABC→→→→→BA－2tBABC＋tBC≥AC令t＝，代入上式，得→BC
2

→
2
2
2
2
→
→→→→→→BA－2BAcosα＋BAcosα≥AC，即BAsi
α≥AC
22
2
2
2
2
2
2
2
π→→→→也即BAsi
α≥AC．从而有AD≥AC．由此可得∠ACB＝．22．设logx2x2＋x－1＞logx2－1，则x的取值范围为1A．＜x＜12答B．
x＞0，x≠11解：因为2，解得x＞且x≠1．由logx2x2＋x－1＞logx2－1，22x＋x－1＞00＜x＜1，x＞1，logx2x3＋x2－x＞logx232或32．解得0＜x＜1或x＞1．2x＋x－x＜22x＋x－x＞2



1B．x＞且x≠12
C．x＞1
D．0＜x＜1
1所以x的取值范围为x＞且x≠1．23．已知集合A＝x5x－a≤0，B＝x6x－b＞0，a，b∈N，且A∩B∩N＝2，3，4，则整数对a，b的个数为A．20B．25C．30D．42答C．ab解：5x－a≤0x≤；6x－b＞0x＞．要使A∩B∩N＝2，3，4，则56
1
f1≤6＜2，6≤b＜12，所以数对a，b共有C1C1＝30个．a，即20≤a＜25．4≤5＜5
65
b
π4．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的2中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点不包括端点．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为111A．，1B．，2C．1，2D．，2555答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则Ft1，0，00111→1→＜t1＜1，E0，1，，G，0，1，D0，t2，00＜t2＜1．所以EF＝t1，－1，－，GD＝－，22221→t2，－1．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又DF＝t1，－t2，0，2
→DF＝
22t21＋t2＝5t2－4t2＋1＝
2211→5t2－＋，从而有≤DF＜1．555

5．设fx＝x3＋log2x＋x2＋1，r