第六节双曲线
知识点一双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2F1F2＝2c0的距离之差的绝对值为常数2a2a2c，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
1．判断正误
1平面内到点F104，F20，－4距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．×
2平面内到点F104，F20，－4距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．×
2．设P是双曲线1x62－2y02＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若PF1＝9，则PF2等于B
A．1
B．17
C．1或17
D．以上答案均不对
f解析：由题意知PF1＝9a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有PF2－PF1＝2a＝8，故PF2＝PF1＋8＝17
知识点二双曲线的标准方程与几何性质1．双曲线的标准方程和几何性质
f2等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2
3．双曲线方程：kx－22＋5－y2k＝1，那么k的范围是D
A．k5
B．2k5
C．－2k2
D．－2k2或k5
f解析：由题意知，k－25－k0，解得－2k2或k5
4．2018全国卷Ⅲ已知双曲线C：ax22－by22＝1a0，b0的离心率为2，则点40到C的渐近线的距离为D
A2
B．2
32C2
D．22
解析：解法1：由离心率e＝ac＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x由点到直线的距离公式，得点40到C的渐近线的距离为4＝22故选D
1＋1
解法2：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，
由点到直线的距离公式得点40到C的渐近线的距离为4＝22故选1＋1
D
5．2019合肥市质量检测若双曲线ax22－by22＝1a0，b0的一条渐近线
被圆
x2＋y2－6x＋5＝0
所截得的弦的长为
2，则该双曲线的离心率等于
62
解析：不妨取双曲线ax22－by22＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆x2
＋y2－6x＋5＝0的圆心为30，半径为2，∴圆心30到渐近线bx－ay＝0
f的距离d＝3b，又d＝a2＋b2
22－222＝3，∴
3b＝3，化简得a2a2＋b2
＝2b2，∴该双曲线的离心率e＝ac＝
1＋ba22＝
1＋12＝
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1．双曲线定义的四点辨析1当02aF1F2时，动点的轨迹才是双曲线．2当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．3当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线．4当2aF1F2时，动点的轨迹不存在．2．方程xm2－y
2＝1m
0表示的曲线1当m0，
0时，表示焦点在x轴上的双曲线．2当m0，
0时，则表示焦点在y轴上的双曲线．3．方程的常见设法1与双曲线ax22－by22＝1共渐近线的方程可设为ax22－by22＝λr