，比如传热和结构，这个时候弱形式是不可避免的。化工中的传质问题和流体中的NS方程都是没有办法用最小能量原理表述出来的。本文后面还有很多这样的例子。
PDE方程是带有偏微分算子的方程，而能量方程是以积分形式表达的。积分形式的好处就是特别适合于有限元方法，而且不用担心积分变量的不连续，这在偏微分方程中比较普遍。弱形式也是积分形式，拥有和积分形式同样的优点，但是他对积分变量的连续性要求更低，可以看作是能量最小化形式的更一般形式。最重要的是，弱形式非常适合求解非线性的多物理场问题，这就是COMSOLMultiphysics的重点了。
小结：为了理解PDE方程的弱形式，我们必须跳开常规的偏微分形式，对于积分形式
不得用于商业用途
f仅供个人参考
要好好研究。由于最小于能原理对比弱形式来说好理解的多，所以我们将从线弹性开始学习，依次到热传导，电流传导等问题。这几种物理问题都有相关的能量和功率可以进行最小化。我们将只涉及到静态问题，重点是在结构分析和更特殊的线弹性分析。
弹性静力学PDE及其弹性能量方程
在静力结构分析问题中，我们需要求解的是Navier方程
F
其中σ是应力张量，F是体力，比如重力等。如果不习惯用张量的形式，你也可以将张量展开写成矩阵形式。这个方程表示了力（或者等效力）的平衡，实际上是三个方程的合并形式3D中每个坐标方向有一个方程。
计算区域记为，其边界记为。应力张量和应变张量之间的关系称为本构关系，线弹性本构一般遵循胡克HOOK
定律
c
其中c是弹性张量，这个关系式说明材料的行为实际上和弹簧差不多（前提是线弹性）。最后，我们可以将应变矢量和位移的关系表述出来u
这里u指的是位移矢量uuvw，其定义就是变形体上的材料点和未变形时候的位移差。总结以上所有的方程，我们得到了一个二阶PDE方程（Navier方程），
cuF
需要一个边界条件来求解，
cuP其中
是表面的法矢，P是边界上的面力或牵引力。后面会介绍更多边界条件。
这个PDE方程的弱形式为，
其中vvxvyvz称为试函数。注意，尽管Navier方程是一个矢量表达式，但是上面的表
达式是一个标量形式。下面介绍如何去推导以及理解弱形式。
弹性势能
在结构分析中，PDE方程及其弱形式的表达式都不太常见，相反，能量最小化形式因为其直观的表达形式用的较多。这类问题的能量积分形式对应于总势能的最小化，即对象中存储的弹性能。
总弹性能是一个标r