的乘积的和新疆王新敞奎屯
即
a

b

x1x2

y1y2
2平面内两点间的距离公式
（1）设
a

x
y
，则
a
2

x2

y2
或
a

xy2
2
新疆王新敞
奎屯
（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1y1、x2y2，那么

a

x1x22y1y22平面内两点间的距离公式
3向量垂直的判定
设
a

x1
y1
，
b


x2

y2

，则
a

b

x1x2
y1y2
0
4两向量夹角的余弦（0）

cosab
x1x2y1y2
ab
x12y12x22y22
三、讲解范例：
例1
设a
57，b

6
4，求
a

b
解：
a

b
5×67×430282
例2
已知
a
1
2，
b
2
3，
c
2
5，求证：△ABC
是直角三角形新疆王新敞
奎屯
f证明：∵AB213211AC215233
∴ABAC1×31×30∴ABAC
∴△ABC是直角三角形
例3已知a
31，b

1
2，求满足
x

a

9
与
x

b
4的向量x新疆
王新敞
奎屯
解：设
x

t
s，

由
xxba94

3tt
s92s4

t2s3
∴
x

2
3
例4已知a＝（１，
3），b＝（
3＋１，
3
－１），则
a
与
b
的夹角是多少
分析：为求
a
与
b
夹角，需先求
a

b
及｜
a
｜｜
b
｜，再结合夹角θ
的范围确定其值
解：由a＝（１，
3），b＝（
3＋１，
3－１）
有
a

b
＝
3＋１＋
3（
3
－１）＝４，｜
a
｜＝２，｜
b
｜＝２
2．
记
a
与
b
的夹角为θ
，则cosθ
＝
a

b

ab
22
又∵０≤θ≤π，∴θ＝4
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定


例5如图，以原点和A52为顶点作等腰直角△ABC，使b90，求点b和向量AB的
坐标新疆王新敞奎屯
解：设b点坐标xy，则OBxy，ABx5y2
∵OBAB∴xx5yy20即：x2y25x2y0
又∵OBAB∴x2y2x52y22即：10x4y29
由
x2

y2

5x

10x4y29
2y

0

x1y1

72
32
或

x2y2

3
27
2
∴
b
点坐标

7

3

或

3

7

；
AB


3

7

或

7

3

2222
22
22
例6在△ABC中，AB23，AC1r