【问题导思】
直线的方向向量与平面的法向量
图3－2－11．如图3－2－1，直线l∥m，在直线l上取两点A、B，在直线m上取两点C、D，向量A→B与C→D有怎样的关系？【提示】A→B∥C→D
2．如图直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上取向量
，则向量
与平面α有怎样的关系？
【提示】
⊥α直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数
个．直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量空间中平行关系的向量表示
线线平行线面平行面面平行
设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝a1，b1，c1，b＝a2，b2，c2，则l∥ma∥ba1，b1，c1＝ka2，b2，c2
设l的方向向量为a＝a1，b1，c1，α的法向量为u＝a2，b2，c2，则l∥αau＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
设α，β的法向量分别为u＝a1，b1，c1，v＝a2，b2，c2，则α∥βu∥va1，b1，c1＝ka2，b2，c2
f求平面的法向量
图3－2－2已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，试建立适当的坐标系．1求平面ABCD与平面SAB的一个法向量．2求平面SCD的一个法向量．
【自主解答】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A000，B010，C110，D12，00，S001．
1∵SA⊥平面ABCD，∴A→S＝001是平面ABCD的一个法向量．
∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴A→D＝12，00是平面SAB的一个法向量．2在平面SCD中，D→C＝12，10，S→C＝11，－1．设平面SCD的法向量是
＝x，y，z，则
⊥D→C，
⊥S→C

D→C＝0所以
S→C＝0，
得方程组12x＋y＝0x＋y－z＝0
x＝－2y∴
z＝－y，
令y＝－1得x＝2，z＝1，∴
＝2，－11．
f1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．
2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：
1设出平面的法向量为
＝x，y，z．
2找出求出平面内的两个不共线的向量
a＝a1，b1，c1，b＝a2，b2，c2．
3根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

a＝0，
b＝0
4解方程组，取其中的一个解，即得法向量．

a＝0，
3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组
有无数多个解，只需给x，

b＝0
y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法
向量就不同，但它们是共线向量．
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：
1平面BDD1Br