典例剖析［例1］已知双曲线的方程by－axa2b2a＞0b＞0，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程
2222
y2x21，a2b2由此可知，实半轴长为a虚半轴长为b，
【解】把方程化为标准方程ca2b2焦点坐标是0－a2b20渐近线方程为x±
a2b2
bay即y±xaby2x2x2y2b【点评】双曲线221a＞0，b＞0的渐近线为y±x双曲线221的渐abababa近线为x±y即y±x，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点ab
［例2］求一条渐近线方程是3x4y0，一个焦点是4，0的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率【解】双曲线的渐近线方程可写成（λ≠0）∵焦点在x轴上，∴λ＞0把双曲线的方程写成
x2y2xy＝λ0因此双曲线的方程可写成16943
y2x2＝1169
16252y2x故所求双曲线的标准方程为＝1256144252525616∵a2即a255c45∴双曲线的离心率ea1645x2y2xy【点评】渐近线为＝0的双曲线方程总是22＝λ（λ≠0），可利用矩形abab
∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝对角线证明［例3］等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点求证：（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1Nx2y2【证明】（1）不妨设等轴双曲线的方程为22＝1ab设直线MN的方程为xbba
f如图87易求得Nba2b2图87
∴ta
NA1x＝
bab2a2baab
ta
NA2x＝
bab2a2baba1＝cotNA2xta
NA2x
∴ta
NA1x＝
＝ta
（

2
－∠NA2x）
又∠NA1x，∠NA2x均为锐角∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90°根据对称性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180°（2）仿1可求得Mb，－b2a2∴kMA1kA2N
b2a2b2a2＝－1baba
∴MA1⊥A2N同理可证MA2⊥A1N【点评】利用对称性把要证等式转化为证明∠NA2x＋∠NA1x＝90°为本题证明的突破口，体现转化意识
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