第三讲一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．
一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程ax2bxc0a0，用配方法将其变形为：
b2b24acx2a4a2
1当b4ac0时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
2
x
bb24ac2a
b2a
22当b4ac0时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：x12
3当b4ac0时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
2
由于可以用b4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b4ac叫做一
22
2元二次方程axbxc0a0的根的判别式，表示为：b4ac
2
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：12x3x10
2
24y912y
2
35x36x0
2
解：1
3242110，∴原方程有两个不相等的实数根．
2
2原方程可化为：4y12y90
2，∴124490原方程有两个相等的实数根．
3原方程可化为：5x6x150
2
，∴6245152640原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．练：说出下列各方程的根的情况（1）xx3
2
（2）4x4x1
22
（3）xx2
2
【例2】已知关于x的一元二次方程3x2xk0，根据下列条件，分别求出k的范围：
1
f1方程有两个不相等的实数根；3方程有实数根；解：2243k412k
2方程有两个相等的实数根4方程无实数根．
1；313412k0k；3二、一元二次方程的根解法
1412k0k
1；314412k0k．3
2412k0k
进一步地，在一元二次方程ax2bxc0a0有实数根的前提下，该实数根具体是多？这就涉及到一元二次方程的根的求法解法一（因式分解法）若axbxc可分解为pxqmx
，
2
那么由axbxc0可得pxqmx
0从而得到x
2

q或xmp
【典例】解一元二次方程xx20
2
解：原方程可化为x1x20
2
故x1或2
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练：解一元二次方程（1）x4x120（2）2xx60r