第三讲一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.
一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程ax2bxc0a0,用配方法将其变形为:
b2b24acx2a4a2
1当b4ac0时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:
2
x
bb24ac2a
b2a
22当b4ac0时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:x12
3当b4ac0时,右端是负数.因此,方程没有实数根.
2
由于可以用b4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把b4ac叫做一
22
2元二次方程axbxc0a0的根的判别式,表示为:b4ac
2
【例1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:12x3x10
2
24y912y
2
35x36x0
2
解:1
3242110,∴原方程有两个不相等的实数根.
2
2原方程可化为:4y12y90
2,∴124490原方程有两个相等的实数根.
3原方程可化为:5x6x150
2
,∴6245152640原方程没有实数根.说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.练:说出下列各方程的根的情况(1)xx3
2
(2)4x4x1
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(3)xx2
2
【例2】已知关于x的一元二次方程3x2xk0,根据下列条件,分别求出k的范围:
1
f1方程有两个不相等的实数根;3方程有实数根;解:2243k412k
2方程有两个相等的实数根4方程无实数根.
1;313412k0k;3二、一元二次方程的根解法
1412k0k
1;314412k0k.3
2412k0k
进一步地,在一元二次方程ax2bxc0a0有实数根的前提下,该实数根具体是多?这就涉及到一元二次方程的根的求法解法一(因式分解法)若axbxc可分解为pxqmx
,
2
那么由axbxc0可得pxqmx
0从而得到x
2
q或xmp
【典例】解一元二次方程xx20
2
解:原方程可化为x1x20
2
故x1或2
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练:解一元二次方程(1)x4x120(2)2xx60r