（2013全国大纲卷）已知双曲线C：
x2y21（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直a2b2
线y2与C的两个交点间的距离为6（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且AF1BF1，证明：AF2、AB、BF2成等比数列
f（2018全国新课标Ⅲ卷）已知斜率为k的直线l与椭圆C：（m＞0）．（1）证明：k＜
x2y21交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）43
1；2
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1x2）8m（y1y2）0，k
又点M（1，m）在椭圆内，即
，解得m的取值范围，即可得k＜，
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），可得x1x22由，可得x310，由椭圆的焦半径公式得则FAaex12x1，FB2x2，FP2x3．即
可证明FAFB2FP，求得A，B坐标再求公差．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1x22，y1y22m将A，B代入椭圆C：1中，可得，
两式相减可得，3（x1x2）（x1x2）4（y1y2）（y1y2）0，即6（x1x2）8m（y1y2）0，∴k点M（1，m）在椭圆内，即
解得0＜m
∴
．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），可得x1x22，∵，F（1，0），∴x11x21x310，y1y2y30，∴x31，，m，k1
∵m＞0，可得P在第一象限，故
由椭圆的焦半径公式得则FAaex12x1，FB2x2，FP2x3．则FAFB4，∴FAFB2FP，
联立
，可得x1x2
所以该数列的公差d满足2d
x1x2
，∴该数列的公差为±
．
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