zAAbAAbb从而AzAAb0，即AzAAb，可见z是方程组AxAAb的解。AAAAb）AAb知，由方程组AxAAb相容，且通解为yC任意xAAAb）IAAyAbIAAy，故zAbIAAy，yC，即z具有上述形式。证毕推论1z是矛盾方程组Axb的最小二乘
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02
2
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f解的充要条件是，z是相容方程组AxAAb的解。推论2z是矛盾方程组Axb的最小二乘解的充要条件是，z是相容方程组AAxAb的解。证若x满足AxAAb，则AAxAAAbAAAbAb反之，若x满足AAxAb，则AxAAAxAAAxAAAxAAbAAbAAb最后说明方程组AAxAb总是相容的。利用ra
kAAra
kA得ra
kAAra
kAAAbra
kAAbra
kAra
kAA即ra
kAAAbra
kAA，故AAxAb相容。证毕
HH
H
H

H
H
H
H
H

H
H
H
H
H
H

H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
四、矛盾方程组的极小范数最小二乘解矛盾方程组Axb的最小二乘解一般不唯一，在所有最小二乘解中2范数最小的解x，即
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x0
2

mi
Axb
mi

x
2
2
称x为矛盾方程组Axb的极小范数最小二乘解或最佳逼近解。
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f定理矛盾方程组Axb的极小范数最小二乘解x是唯一的，且xAb。证由推论1知Axb的最小二乘解是AxAAb的解，从而Axb的极小范数最小二乘解就是AxAAb的极小范数解，故它是唯一的，且xAAAbAb证毕综上所述可以发现，有了MoorePe
rose逆A后，方程组Axb的各种“解”可以统一表述如下：（1）Axb相容AAbb；（2）xAbIAAy（yC任意）是相容方程组Axb的通解，或是矛盾方程组Axb的全部最小二乘解；（3）xAb是相容方程组Axb的极小范数解，或是矛盾方程组Axb的极小范数最小二乘解。例用广义逆矩阵方法判断线性方程组

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0







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x12x2x32x412x14x2x3x45x2x2xx42341
162
f是否相容？如果相容，求通解和极小范数解；如果不相容，求全部最小二乘解和极小范数最小二乘解。解该方程组的系数矩阵
2121A24111221
，右端向量为
112A3356
1b54
，
前面已求得
21r