§4
A
的应用
一、线性方程组相容性的判别与通解b定理设AC，C，则线性方程组Axb相容的充要条件是AAbb；且相容时的通解为yC任意xAbIAAy，
m
m



二、相容线性方程组的极小范数解当相容线性方程组Axb有无穷多解时，需要在其中求出2范数最小的解，即求Axb的解x，使xmi
x称x为相容方程组Axb的极
0
02
Axb
2
0
小范数解。定理相容方程组Axb的极小范数解x唯一，且xAb。证可知Axb的通解为yC任意xAbIAAy，从而xxxAbIAAyAbIAAy

0
0




22
H


H


AbIAAyb
22
22
H
AHIAAy
y
H
IAAHAb
158
fAbIAAybIAAAyyIAAAbAbIAAyAb即Abx，由于Ab是Axb的解，所以它是极小范数解。再证唯一性。设x是Axb的极小范数解，则存在yC，使xAbIAAy，且xAb如同前面推导可得xAbIAAyAbIAAy于是得IAAy0，即IAAy0，故xAb。证毕
2222
2222
H

H
H





22


2
2
0


0



0
0
02
2
202


2

22

2
02
02



02
0
0
三、矛盾方程组的最小二乘解当方程组Axb不相容时，它没有通常意义下的解，此时对任意xC都有Axb0。人们希望求出这样的zC，它使Axb为最小，即Azbmi
Axb

22
xC

2
称这个问题为最小二乘问题，称z为矛盾方程组Axb的最小二乘解。定理矛盾方程组Axb的全部最小二乘解为yC任意zAbIAAy，



159
f证因为AzbAAbIAAybAAbb，而对任意xC，有AxbAxAAbAAbbAxAAbAAbb


2
2
2


22


22

22

22
AxAAbHAAbb
AxAAb

22
AAbbAAbbxAb
22
H
AxAAbAHAAIb

H

bHAAIHAxAb
AxAAbAAbbxAb
22

22

H
AHAAIHb
bHAAIAxAb
AxAAbAAbb
22

22
AAbb
22
Azb

22
可见不管yC如何取值，zAbIAAy总是最小二乘解。再证Axb的任一最小二乘解z总可以表为上述形式。因为AzbAAbb，与前面推导类似有AzbAr