方程0±bx
ay或02222
bxay参数方程θθta
se
cbyax或
θθsecta
aybx
②轴yx为对称轴实轴长为2a虚轴长为2b焦距2c③离心率ac
e④准线距
ca22两准线的距离通径ab22⑤参数关系a
c
ebac222⑥焦点半径公式对于双曲
线方程
12
22
2
byax21FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点
“长加短减”原则a
exMFaexMF0201构成满足aMFMF221
a
exFMaexFM0201与椭圆焦半径不同椭圆焦半
asi
αα
fa
eyFMaeyFMa
eyMFaeyMF
02010201⑶等轴双曲线双曲线222ayx±称为等轴双曲线其渐近线方程为xy±离心率2e⑷共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴实轴为虚轴的双曲线叫做已知双曲线的共轭
双曲线λ22
22byax与λ2222byax互为共轭双曲线它们具有共同的渐近线02222b
yax
⑸共渐近线的双曲线系方程
02
22
2≠
λλb
ya
x的渐近线方程为
02
22
2
ya
x如果双曲线的
渐近线为0±by
ax时它的双曲线方程可设为02222≠λλb
yax
例如若双曲线一条渐近线为xy2
1
且过213p解令双曲线的方程为
0422
≠λλyx
代入2
13得1282
2
yx⑹直线与双曲线的位置关系
区域①无切线2条与渐近线平行的直线合计2条
区域②即定点在双曲线上1条切线2条与渐近线平行的直线合计3条区域③2条切线2条与渐近线平行的直线合计4条
区域④即定点在渐近线上且非原点1条切线1条与渐近线平行的直线合计2条区域⑤即过原点无切线无与渐近线平行的直线
小结过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条
2若直线与双曲线一支有交点交点为二个时求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号⑺若P在双曲线12
22
2
b
ya
x则常用结论1P到焦点的距离为m
则P到两准线的距
离比为m
简证
e
PFePFdd2
1
21
m
常用结论2从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b
三、抛物线方程
f注①xcbyay2
顶点2442a
b
abac
②022≠ppxy则焦点半径2
PxPF022≠ppyx则焦点半径为2
PyPF
③通径为2p这是过焦点的所有弦中最短的
④pxy22
或pyx22
的参数方程为ptyptx222或
2
22ptypt
xt为参数四、圆锥曲线的统一定义
4圆锥曲线的统一定义平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹当10e时轨迹为椭圆当1e时轨迹为抛物线当1e时轨迹为双曲线当0e时轨迹为圆a
c
e
当bac0时5圆锥曲线方程具有对称性例如椭圆的标准方程对r