高等数学本科少学时类型
第一章函数与极限
第一节函数
○函数基础高中函数部分相关知识★★★○邻域去心邻域★
Uaxxaδδ
0Uaxxaδδ
第二节数列的极限
○数列极限的证明★
【题型示例】已知数列
x证明lim
xxa→∞
【证明示例】Nε语言
1由
xaε化简得εg
∴Ngε
2即对0εNgε当N
时始终有不等式
xaε成立∴ax
x∞
→lim
第三节函数的极限
○0xx→时函数极限的证明★【题型示例】已知函数xf证明Axfxx→0
lim
【证明示例】δε语言
1由fxAε化简得00xxgε∴εδg
2即对0εεδg当00xxδ时始终有不等式fxAε成立∴Axfxx→0
lim
○∞→x时函数极限的证明★
【题型示例】已知函数xf证明Axfx∞
→lim
【证明示例】Xε语言
1由fxAε化简得xgε∴εgX
2即对0εεgX当Xx时始终有不等式fxAε成立∴Axfx∞
→lim
第四节无穷小与无穷大
○无穷小与无穷大的本质★函数xf无穷小0limxf函数xf无穷大∞xflim
○无穷小与无穷大的相关定理与推论★★
定理三假设xf为有界函数xg为无穷小则lim0fxgx
定理四在自变量的某个变化过程中若xf为无穷大则1fx为无穷小反之若xf为无穷小且0fx≠则xf
1
为无穷大
【题型示例】计算0
limxxfxgx→
或∞→x1∵fx≤M∴函数fx在0xx的任一去心邻域δ0xU
内是有界的
∵fx≤M∴函数fx在Dx∈上有界20lim0
→xgxx即函数xg是0xx→时的无穷小0lim∞→xgx即函数xg是∞→x时的无穷小
3由定理可知0
lim0xxfxgx→
lim0xfxgx→∞
第五节极限运算法则
○极限的四则运算法则★★定理一加减法则定理二乘除法则
关于多项式px、xq商式的极限运算
设

m
mmbxbxbxqaxaxaxp1
101
10
则有∞∞→0
lim0
baxqxpxm
m
m

000lim0
0xxfxgxfxgx→
∞
000000000gxgxfxgxfx≠≠特别地当00
lim0
xxfxgx→不定型时通常分
子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解
【题型示例】求值2
3
3
lim
9
xxx→
f【求解示例】解因为3→x从而可得3≠x所以原式
23
333311
lim
limlim93336xxxxxxxxx→→→其中3x为函数23
9
xfxx的可去间断点
倘若运用罗比达法则求解r