面的距离与水杯高的比值；（Ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
1bhh解：（Ⅰ）设水杯高为h，则半杯水的重心在离杯底2×处，于是装入半杯水后的水杯b241hhb×a×427h处，故水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值为7．的重心在离杯底212020ba2xhhx（Ⅱ）x克水的重心在离杯底×处，装入x克水后的水杯的重心离杯底距离为：b22b
x×
hxha×222b2h×xabhxa2aaab≥h2a2ab2a，xa2bxa2bxa2b


此时xa
a2ab2，即xaaba，xa
f故水杯内装aaba克水可以使装入水后的水杯重心最低．
2
（2011）将一枚均匀的硬币连续投掷
次，以p
表示为出现连续3次正面的概率．（Ⅰ）求p1，p2，p3和p4；（Ⅱ）探究数列p
的递推公式，并给出证明；（Ⅲ）讨论数列p
的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．解：（Ⅰ）p1p21，p31
17；88
投掷4次，连续出现3次正面的情况有：
1；第2，3，4次正面，第1次反面，此时该1611313．概率为；第1，2，3，4次正面，此时概率为．故p4116161616
第1，2，3次正面，第4次反面，此时该概率为（Ⅱ）投掷
次为出现连续3次正面的情况有：第
次反面，则前
1次未出现连续3次正面，此时概率为
1p
1；21p
2；41p
3；8
第
次正面，第
1次正面，则前
2次未出现连续3次正面，此时概率为
第
次正面，
1次正面，
2次反面，第第则前
3未出现连续3次正面，此时概率为因此p

11117p
1p
2p
3
≥4，p1p21，p31．24888
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，p1≥p2≥p3≥p4；
1117p
1p
1p
1p
1；24881111711当
k1时，pk1pkpkpk1pk2≤×pk1pk1pk2248284831371pk1pk2≤×pk2pk2≤0．1681688111因此p
单调下降有界，其极限存在，记limp
p，于是对p
p
1p
2p
3两
→∞2487端求极限得pp，即p0．p0的概率意义为随之投掷次数的不断增加，几乎必然会出现连8
设
≤kk≥4时，p
≤p
1，则p
≥续3次正面的情况．（2011）已知函数fx
2x，f11，axb
112f．令x1，x
1fx
．223
（Ⅰ）求数列x
的通项公式；
f（Ⅱ）证明：x1x2Lx

1．2e
2ab1a12x解：（Ⅰ）由r