第6章求矩阵特征值与特征向量第16讲乘幂法和逆幂法一、乘幂法的基本思想乘幂法是求实方阵A按模最大特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是，先任取非零初始向量列再根据增大时，，然后作迭代序
各分量的变化规律，求出
方阵A的按模最大的特征值及相应的特征向量。先看一个实例例1设矩阵
用特征方程容易求得
的两个特征值为
下面我们用乘幂法来计算，任取初始向量列
，计算向量序
f具体计算列表如下：
考虑两个相邻向量相应分量之比：
由上面计算看出，两个相邻向量相应分量之比值，随着
的增大而
趋向于一个固定值，并且此值恰好就是方阵A的按模最大的特征值。二、乘幂法的计算公式设矩阵A的
个特征值按模的大小排列为：│λ1│≥│λ2│≥…≥│λ
│其相应的特征向量为e1e2…e
且它们是线性无关的。
先任取非零初始向量
，作迭代序列
f首先将
表示为
所以
为了得出计算1和的公式，下面分三种情况讨论
λ1为实根，且│λ1││λ2│。
当a1不为0，k充分大时，则有
所以
（62）
2．
为实根，且λ1λ2，│λ2││λ3│。当a1，a2不为0，k充分大时，则有
于是得
f从而有
（63）（3）λ1uivλ2uiv且│λ2││λ3│。当k充分大时，则有
（推导过程参见教材164165）在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况判断属于那种情况。若迭代向量各分量单调变化，且有关系式Xk1cXk，则属于第1种情况；
f若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式Xk2cXk，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式Xk2pXk1qXk≈0，则属于第3种情况；为了防止溢出，可采用迭代公式：
（66）这里面的代表Yk绝对值最大的分量
例2乘幂法求矩阵
按模最大特征值和相应特征向量。
解取X0（1，1，1）T，用乘幂法迭代公式Xk1AXk，k01…
f计算列表如下：
所以
事实上，
矩阵
的最大特征值为
其相应的特征向量为三、逆幂法1求A按模最小的特征值设非奇异矩阵A的
个特征值为λ1≥λ2≥…≥λ
，其相应的特征向量为e1e2…e
，则的特征值为
其相应的特征向量仍为e1e2…e
。
fA1按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。利用乘幂法求A1按模最大的特征值。任取初始非零初始向量X0，作迭代序列Xk1A1Xk，k01…．它等价于AXk1Xk，k01…．（68）我们可以通过反迭代过程，即解方程组AXk1Xk，k01…．求得Xk1。当│λ
1││λ
│，a
≠0k充分大时，则有
在实际计算中，为了减少运r