da
2d．整理得：2d0，这显然成立，故原不等式成立．．
2
Ⅱ【证明】【证明】：假设方程xp1xq10和xp2xq20都没有实根，：
22
那么，p14q10且p24q20，从而p1p24q14q20．
2222
由已知：p1p22q1q2得：p1p22p1p20即p1p20
222
这与p1、p2∈R矛盾！故假设不成立．．∴方程xp1xq10和xp2xq20中至少有一个有实根．
22
泾县中学高二期中考试数学试卷
第6页，共8页
f20．本小题满分13分）（Ⅰ【证明】（1）∵a1a：证明】
1a41，∴当
1时等式成立．．aaa21a2k21，那么aa2k1
（2）假设当
kk∈N时等式成立，即a

11a21aa2k1a2k121ak1a2k2．aakaa1aa2k1
∴当
k1时等式成立．．综合（1）（2）得：a

a2
21（
∈N）成立．．2
aa111112a2aa1
k1，k
Ⅱ【证明】（1）∵a≠1a0，∴a1a：证明】∴当
1时不等式成立．．
（2）假设当
kk∈N时不等式成立，即ak那么，
1k1k1，∴，又由（1）知a2．akk1akk1a111kkk11a2．aakak1k1k1
∴ak1a
∴当
k1时不等式成立．．综合（1）（2）得：对于一切
∈N都有a


1成立．．

21．本小题满分13分）（Ⅰ【解】1fx的定义域为0∞。【：
fxxa
a1x2axa1x1x1axxx

（i）当a2时，则fx
x12，在0∞上f′x≥0（仅f′1＝0）fx单调递增．，．x
ii当1a2时，在区间a11上，fx0，fx单调递减；在区间0a1和1∞上，fx0，fx单调递增．．iii当a2时，类似可得fx在1a1上单调递减，在01和a1∞上单调增加．．
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fⅡ【证明】：令gxfxx【证明】：则g′xxa1
12xaxa1l
xx2
a1a1≥2xga11a112xx
a111，从而g′x0；∴gx在0∞上单调递增．．
fx1fx21，x1x2
由于1a5，故1
∴当x1x20时，gx1gx20，fx1fx2x1x20，有即故
当0x1x2时，有
fx1fx2fx2fx11．x1x2x2x1fx1fx21．x1x2
r