于这
个数的几何平均值。
归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证
24…2
都成立，
假设命题对

k
成立，令Sk

a1

a2
k

ak

Sk1

a1

a2k1
ak1
，利用
Sk1k1

a1a2ak1证之成立
f第二章不等式
主要内容：
1、一些初等不等式的证明
2、几个著名不等式：柯西不等式、赫勒德尔不等式、明可夫斯基不等式的证明
3、均值不等式、柯西不等式等常用不等式的应用
4、凸函数的性质与应用
重点掌握：
1、a1a2
a




a1a2a

等号成立的条件为：a1
a2
a

2、柯西不等式

1
aibi2


1
ai2

1
bi2

等号成立的条件为：
a1b1
a2b2

a
b

3、fx为上凸函数的定义为：对任意的x1x2
有fq1x1q2x2q1fx1q2fx2其中q10q20q1q21，则称fx为上凸函数。
4、fxx03（x0），gxsi
x（0x），kxx中，上凸函数为：fxx03，gxsi
xkx（x）
5、fxxk（其中x0），则当0k1时，fx为下凸函数。
6、ylgx则y是上凸函数
7、函数f1xsi
x（其中0x）和f1x为上凸函数，f1xk（其中x0，
k1）为下凸函数。
8、si

12
x1

x2


12
si

x1

si

x2

9、不等式（
a1

a2

a

）（
1a1
1a2
……1a

）
2，其中ai0，i1，
2，……
成立。





可利用柯西不等式aibi2ai2bi2证之成立
1
1
1
10、若abc0且abc1，则2abc存在极大值，为2；若已知a×b×c1，27
则2ab4c存在极小值，为6。
f利用均值不等式（算术平均值大于等于几何平均值）可算得2abc极大值为2，2ab4c的极小值为62711、若x0y0z0且满足9x212y25z29则3x6y5z存在极大值，为9。





利用柯西不等式aibi2ai2bi2易知3x6y5z的极大值为9，其
1
1
1
中a13xb11a223yb23a35zb35。
12、若x0y0z0且满足3x2y2z215，则2x3y4z存在极大值，为：395。





利用柯西不等式aibi2ai2bi2易知2x3y4z的极大值为395，
1
1
1
其中a1
3xb1
23
a2

yb2

3a3

zb3

4。
13、若x0y0z0且满足3x24y25z220，则9x16y7z存在极大值，为：
1214。





利用柯西不等式aibi2ai2bi2易知9x16y7z的极大值为
1
1
1
1214，其中a1
3xb133a22yb28a3
5zb3
7。5
14、若x0y0zr