第一章代数运算与自然数
主要内容：1、集合与映射的概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握1、由A→B的单映射σ的定义为：设AB若由a1Aa2Aa1a2，就推出（a1a2，则称为从A到B的单映射。2、由A→B的满映射σ的定义为：设AB若ra
B，则称为从A到B的满映射。3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象4、若集合A
，则集合A→A的映射共有
种。5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：a1a②：abab7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为①：a1a②：ababa8、自然数ab的定义为如果给定的两个自然数a与b存在一个数k使得abk，则称a大于bb小于a记为ab或ba9、皮阿罗公理中的归纳公式为具有下面性质的自然数的任何集合M若满足：11M2如果a属于M则它后面的数a’也属于M则集合M含有一切自然数，即MN10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。11、若Am，B
，则A→B的所有不同映射的个数为
m。
f12、若A是有限集合，则A→A的不同映射个数为：AA。
13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。14、若A是有限集合，则不存在A到其真子集合的单映射。15、若A为无限集合，则存在A的真子集合B使其与A等价。16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。
可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与1
有关的映射
17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。可考虑分段映射
18、代数系统R与代数系统R是同构的，其中R表示正实数集合，R表示实数集合，与就是通常的实数乘法与加法。
根据同构定义，只需找到一个从R到R的一一映射，例如lgx就
可以证明上述论述。19、令Q为正有理数集合，若规定abab，abab
2（1）Q构成代数体系，但不满足结合律。
则：
（2）Q不构成代数体系，但满足结合律。根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。
20、若在实数集合中规定ababa×b，其中与×是通常的加法与乘法，则满足结合律。
只需证明等式（ab）cabc成立21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明
个数的算术平均值大于等r