人教版数学必修5
第二章数列
23
等差数列的前
项和一
§23等差数列的前
项和一23项和
【对点讲练】对点讲练】一有关等差数列前
项和的计算例1在等差数列a
中已知d＝2a
＝11S
＝35求a1和
已求－，－＝，a
＝a1＋
－1d，a1＋2
－1＝11，解答】得【解答】由
－1
－1－－，＝，S
＝
a1＋2d，
a1＋2×2＝35，
＝＝，
＝5
＝7，或【解答】方程组得解答】a1＝3a1＝－1＝－
【总结】在解决等差数列问题时如已知a1a
dS
中任意三个可求其余两个这种问题在数学上常称为“知三求二”总结】如三可这三二型S
【变式1】设a
为等差数列S
为数列a
的前
项和已知S7＝7S15＝75T
为数列
的前
项和求T
】已求1解答】【解答】设等差数列a
的公差为d则S
＝
a1＋2
－1d则
＝－2＝＝7a1＋21d＝7a1＋3d＝1a1＝－即解得∵S7＝7S15＝75∴∴即解＝＝＝15a1＋105d＝75a1＋7d＝5d＝1
S
＋1S
1S
11∴
＝a1＋2
－1d＝－2＋2
－1∵－＝∵
＋1
2＋
－111－S
19∴数列
是等差数列其首项为－2公差为2∴T
＝
－2＋2×2＝4
2－4
其公∴二等差数列前
项和性质的应用例21等差数列a
的前m项和为30前2m项和为100求数列a
的前3m项的和S3m前求＋S
7
＋2a52两个等差数列a
b
的前
项和分别为S
和T
已知T＝求的值已求
＋3b5＋
解答】【解答】1方法一在等差数列中SmS2m－SmS3m－S2m成等差数列一∴30370S3m－100成等差数列∴2×70＝30＋S3m－100∴S3m＝210∴SmS2mS3m2S2mSmS3m方法二在等差数列中m2m3m成等差数列∴2m＝m＋3m二∴即S3m＝3S2m－Sm＝3×100－30＝210a59a1＋a9S9652b＝＝＝9b1＋b9T9125总结】【总结】等差数列前
项和S
的有关性质在解题过程中如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易事半功倍的效如事果＋A
7
＋45a
则使得b为整数的正整数
的个【变式2】已知两个等差数列a
和b
的前
项和分别为A
和B
且B＝】且则
＋3＋
数是A2B3C4D5解答】【解答】D＋＋＋＋a
A2
－114
＋387
＋197
＋1＋1212＝＝＝＝7＋∴
＝1323335311解析b＝∴B2
－12
＋2
＋1
＋1
＋1＋＋＋＋
三等差数列前
项和的实际应用乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动甲第1分钟走2m以后每分钟比前1分钟多走1m乙每分例3甲、甲以乙钟走5m1甲、乙开始r