向量AA在直线l上的投影为333
AA3330013.
333
3
由两个向量的数量积的几何意义知,直线DA与AC的距离为3.3
向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中,讲到几何空间的内积时,有一个例题(见1,p53)要求证明如下的公式:
fcoscoscossi
si
cos
1
其中点O是二面角PMNQ的棱MN上的点,OA、OB分别在平面P和平面Q
内。AON,BON,AOB。为二面角PMNQ(见图1)。
z
P
D
A
a
M
O
b
x
Ny
B
Q
图1
公式(1)可以利用向量的内积来加以证明:以Q为坐标平面,直线MN为y轴,如图1建立直角坐标系。记xOz平面与平面P的交线为射线OD,则ODMN,得
AOD,DOx,DOz。
2
2
分别沿射线
OA、OB
的方向上作单位向量
a
,
b
,则
ab
。
由计算知
a
,
b
的坐标分别为
si
coscossi
si
,si
cos0,
于是,
cos
aa
bb
a
b
cos
cos
si
si
cos
。
公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。
例1.立方体ABCDA1B1C1D1的边长为1,E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。
求面EFG和面GHI的夹角的大小(用反三角函数表示)。
解由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点,没有交线,所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平
面HIG。而就是二面角GIHG(见图3)。利用公式(1),只要知道了,
和的大小,我们就能求出。
fD1
EG
A1
C1HB1
F
D
IC
A
B
图2
由已知条件,GHI和HIG均为等边三角形,所以,而3
GIG。因此,2
D1
C1
E
H
G
G
A1
B1
F
D
IC
A
B
图3
coscoscossi
si
cos,
2
3333
即
01133cos。2222
解得
cos1,arcc1o。s
3
3
当然,在建立了直角坐标系之后,通过计算向量的外积可计算出两平面的法
向量,利用法向量同样也可算出夹角来。
例2.计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。
解我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形,且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面,MN是它们的交线(如图4),则公式(1)中的,,分别为r