20192020年北师大版选修21高中数学32《立体几何中的向量方法》
word教案
利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题
例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．
解：如图，设CD4i，CB4j，CG2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C000，A440，B040，D400，E240，F420，G002．
∴BE200，BF420，BG042，GE242，
EF220．设BM平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，
存在实数a、b、c，使得BMaBEbBFcBGabc1，∴BMa200b420c042＝2a4b－2b－4c2c．由BM平面EFG，得BMGE，BMEF，于是BMGE0，BMEF0．
2a4b2b4c2c2420∴2a4b2b4c2c2200
abc1
a5c0
a

1511
整理得：
aa

3b2cbc1
0，解得
bc

7113
11
．
∴BM＝2a4b－2b－4c2c＝226．111111
∴
BM
2211


211
2


611
2

21111
f故点B到平面EFG的距离为211．11
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．
例2已知正方体ABCD－ABCD的棱长为1，求直线DA与AC的距离．分析：设异面直线DA、AC的公垂线是直线l，则线段AA在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解
解：如图，设BAi，BCj，BBk，以i、j、k为坐标向量建立空间直
角坐标系B－xyz，则有
A100，D111，A101，C011．
∴DA011，AC110，AA001．
设
xyz是直线l方向上的单位向量，则x2y2z21．
∵
DA，
AC，
yz0
∴
xy0x2y2z2
，解得1
xyz3或3
x

y

z


3．3
取
333，则向量AA在直r