用放缩法处理数列和不等问题（教师版）
一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）
例1．正数数列a
的前
项的和S
，满足2S
a
1，试求：（1）数列a
的通项公式；
（2）设b


1a
a
1
，数列b
的前
项的和为B
，求证：B


12
解：（1）由已知得4S
a
12，
2时，4S
1a
112，作差得：
4a
a
22a
a
212a
1，所以a
a
1a
a
120，又因为a
为正数数列，所以a
a
12，即a
是公差为2的等差数列，由2S1a11，得a11，所以a
2
1
（2）b


1a
a
1

12
12
1

1122
1
1，所以2
1
B


111112335
112
12
1
11222
1

12
真题演练
1：06
全国
1
卷理科
22
题设数列a
的前

项的和S


43
a



13

2
1

23
，

123ggg
（Ⅰ）求首项a1与通项
a

；（Ⅱ）设T


2
S

，


123ggg，证明：

i1
Ti

32

解Ⅰ由S
43a
－13×2
123
123，…①
得
a1S1
4123a1－3×43
所以
a12新疆源头学子小屋httpwwwxjktygcomwxc
特级教师王新敞wxckt126com
新疆源头学子小屋
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再由①有S
－143a
－1－13×2
23
23，4…
将①和②相减得a
S
－S
－143a
－a
－1－13×2
1－2
23…
整理得a
2
4a
－12
－1
23…因而数列a
2
是首项为a124公比为4的等比数列即a
2
4×4
－14
123…因而a
4
－2
123…
Ⅱ将a
4
－2
代入①得
S

43×4
－2
－13×2
1

23

13×2
1－12
1－2
23×2
1－12
－1
2
3
2

31
1
T
S
2×2
1－12
－12×2
－1－2
1－1
所以


3
1
1
Ti22i－1－2i1－1
i1
i1
312×21－1－
12
11

32
二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和
f例2．等比数列
a

中，
a1


12
，前


项的和为
S

，且
S7

S9
S8
成等差数列．
设b


a
21a

，数列b
前

项的和为T
，证明：T


13
．
解：∵
A9

A7

a8
a9
，
A8

A9
a9，a8
a9
a9，∴公比q

a9a8

12
．
1
∴a

1
．2
b

4
11

14
2

132

．
2
（利用等比数列前
项和的模拟公式S
Aq
A猜想）
11
∴B

b1b2

b

1132322

132

13
1222
11
1111．32
3
2
真题演练2：06福建卷理科22题已知数列a
满足a11a
12a
1
N
（I）求数列a
的通项公式；
（II）若数列b
足4b141b21L4b
1a
1b
N，证明：数列b
是等差数列；
（Ⅲ）证明：
1a1a2a

N
23a2a3
a
12
（I）解：Qa
12a
1
N
a
1
1
2a

1a

1是以a1
1
2为首项，2
为公r