第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念1原函数设函数Fx及fx在区间I上有定义，若满足Fxfx或dFxfxdx，则称Fx为fx在区间I上的一个原函数例如：由于si
xcosx，故si
x是cosx的一个原函数关于原函数，一般有如下两个问题需要解决：1在什么条件下一个函数的原函数存在2若函数的原函数存在它如何表示下面的原函数存在定理能解决这两个问题2原函数存在定理定理1若函数fx在区间I上连续，则fx在I上存在原函数Fx，即Fxfx推论：初等函数在定义区间上有原函数定理2若函数Fx是fx的一个原函数，则fx的所有原函数都在函数族FxCC是任意常数内证明：1因为FxCFxfx，所以FxC是fx的原函数2设x是fx的任一原函数，即xfx，又Fxfx，两式相减得
xFxxFxfxfx0，
故xFxC0C0为某个常数，它属于函数族FxC定理2说明，一个函数的所有原函数在形式上只差一个常数函数的全体原函数又叫不定积分3不定积分：称函数fx在区间I上的原函数全体为fx的不定积分，记作fxdx，其中积分号fx被积函数x积分变量fxdx被积表达式注：1°若Fx是fx的一个原函数，则FxC就是fx的不定积分即不定积分是原函数族2°FxdxFxC，或dFxFxC其中C为任意常数，称为积分常数，不可省缺
1
f3°微分运算与不定积分运算互为逆运算：
ddx
fxdxfx或dfxdxfxdx
4不定积分的几何意义函数fx的原函数的图形称为积分曲线例1例2
x
2
11dxx3dxx3C33
xdxl
xdxl
xC
1
例3设曲线通过点12且其上任一点处切线的斜率等于该点横坐标的两倍求此曲线的方程解：设所求曲线方程为yfx，由题知曲线上任一点xy处的切线斜率为fx2x，即
fx是2x的一个原函数于是fx2xdxx2C
又曲线过点12，故有212C，解得C1于是所求曲线的方程为yx21二、基本积分表123
kdxkxC
k为常数
x

dx
11xC11
dxl
xCxdxarcta
xC或arccotxr